Пространственная задача математической теории пластичности. Радаев Ю.Н. - 325 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

12.4. Автомодельные решения осесимметричной задачи математической теории
пластичности
325
Если α и β разных знаков, то l
1
< 0. Определяя в этом случае ¯v как
безразмерное отношение z/
√
−l
1
, приходим к уравнению
d¯v
du
2
=3
2
−1 −
β − α
3
√
−αβ
d¯v
du
−
¯v
2
1 − u
2
, (12.4.37)
разрешив которое относительно производной, получаем
2
3
d¯v
du
= −
β − α
√
−αβ
±
#
(β − α)
2
−αβ
− 4
1+
¯v
2
1 − u
2
. (12.4.38)
Естественной областью определения этого уравнения будет внутрен-
ность эллипса
u
2
+
¯v
2
γ
2
2
< 1
γ
2
=
−1 − (β − α)
2
(4αβ)
−1
.
Как и прежде, уравнение (12.4.38) приводится к симметричной триго-
нометрической форме с помощью замены ¯v = γ
2
sin τ cos ι и использования
угла ι в качестве независимой переменной. В результате получается урав-
нение, совпадающее с (12.4.36).
Уравнения (12.4.14)и(12.4.34) представляют собой нелинейные неав-
тономные уравнения, интегралы которых пока получить не удается. Яс-
но, что эти уравнения могут быть проанализированы численно. Так, на
рис. 12.2, 12.3 изображены интегральные кривые уравнения (12.4.14)внут-
ри естественной области определения u
2
+¯v
2
< 1.
Теперь попытаемся найти другие возможные формы автомодельных ре-
шений. Будем искать решения системы (12.4.3) в предположении, что авто-
модельная переменная представляет собой произведение степеней изоста-
тических переменных с различными показателями:
f = ξ
1 α
ξ
3 β
F (ξ),h= ξ
1 α
1
ξ
3 β
1
H(ξ), (12.4.39)
где ξ = ξ
1 γ
ξ
3 δ
— автомодельная переменная; α, β, α
1
, β
1
, γ, δ — некоторые
показатели.
Тогда при условии, что существует показатель ω такой, что
ξ
ω
= ξ
1 α
1
−α
ξ
3 β
1
−β
, (12.4.40)
система двух уравнений в частных производных (12.4.3) сводится к системе
обыкновенных дифференциальных уравнений:
⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎩
αβF
2
+ ξ (αδ + γβ) FF
+ ξ
2
γδF
2
+
+ξ
2ω
α
1
β
1
H
2
+ ξ (α
1
δ + β
1
γ) HH
+ ξ
2
γδH
2
=0,
FH
− HF
+
ω
ξ
HF
2
=
G
1
'
ξ
1
(
G
2
'
ξ
3
(
(αδ − βγ)
2
ξ
14α+2α
1
−2
ξ
34β+2β
1
−2
ξ
2
F
2
,
(12.4.41)
Ю.Н. Радаев

Страницы