Пространственная задача математической теории пластичности. Радаев Ю.Н. - 327 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

12.4. Автомодельные решения осесимметричной задачи математической теории
пластичности
327
αδ − βγ =0.
С целью устранения переменных ξ
1
и ξ
3
в(12.4.41) представим G
1
и G
2
в следующем виде:
G
1
(ξ
1
)=C
1
ξ
14α+2α
1
+γ(µ+2)−2
,G
2
(ξ
3
)=C
2
ξ
34β+2β
1
+δ(µ+2)−2
, (12.4.42)
где C
1
и C
2
— некоторые положительные константы, а µ — некоторый пока-
затель.
Преобразуем полученную систему (12.4.41), вводя в плоскости ξ
−ω/2
F ,
ξ
ω/2
H полярные координаты:
ξ
−ω/2
F = ρ cos ι, ξ
ω/2
H = ρ sin ι.
В меридиональной плоскости x
2
=0справедливы соотношения
ξ
ω
ξ
1 α
ξ
3 β
ρ
2
= x
2
1
+ x
2
3
, tg ι =
x
3
x
1
,
т.е. угол ι — полярный угол в меридиональной плоскости, отсчитываемый
от горизонтальной оси.
Положим C = C
1
C
2
; получим систему следующего вида:
⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎩
4αβρ
2
+2(αδ + γβ) ωρ
2
+ γδω
2
ρ
2
+
+4ξ [(αδ + βγ + ωγδ)ρρ
]+4ξ
2
γδ
'
ρ
2
+ ρ
2
ι
2
(
=0,
ι
2
=
Cξ
µ−ω
(αδ −βγ)
2
ρ
6
cos
2
ι
.
(12.4.43)
Дальнейшие рассуждения в принципе не отличаются от приведенных
выше. Автомодельную переменную ξ удается устранить, положив µ = ω−2;
в результате порядок системы понижается на одну единицу и получается
193
дифференциальное уравнение первого порядка, совпадающее с уравнением
(12.4.30)
l
1
e
6W
cos
2
ι + l
2
e
3W
cos ι
dW
dι
=1+
dW
dι
2
, (12.4.44)
но постоянные коэффициенты l
1
и l
2
определяются следующим образом:
l
1
=
−
'
4αβ +2ω(αδ + βγ)+ω
2
γδ
(
(αδ − βγ)
2
4Cγδ
,
l
2
=
−(αδ + βγ + ωγδ)(αδ − βγ)
√
Cγδ
sign(αδ − βγ).
193
Мы по-прежнему полагаем, что dι/dξ > 0.
Ю.Н. Радаев

Страницы