Пространственная задача математической теории пластичности. Радаев Ю.Н. - 384 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

384
Глава 15. Группы симметрий и алгебра симметрий трехмерных уравнений
математической теории пластичности
сти. Там же построена оптимальная система одномерных подалгебр указан
ной алгебры симметрий и определены соответствующие инвариантно-груп
повые решения системы дифференциальных уравнений в частных произ
водных осесимметричной задачи. Автомодельные решения уравнений осе
симметричной задачи теории пластичности получены в [6], [7].
Общий групповой анализ пространственных уравнений теории идеаль
ной пластичности на ребре призмы Треска, представленных в декартовых
координатах, дан в [8], с. 73-77. Там же приводятся инвариантные и ча
стично-инвариантные решения трехмерных уравнений. Групповой анализ
уравнений пространственной задачи теории идеальной пластичности в изо
статических координатах ранее, по-видимому, не проводился.
Методы группового анализа применительно к системам дифференци
альных уравнений в частных производных изложены в классических моно
графиях [9], [10].
202
Для ребра призмы Треска, определяемого условием σ
1
= σ
2
= σ
3
± 2k
(σ
1
, σ
2
, σ
3
главные нормальные напряжения; k предел текучести при
сдвиге), уравнения равновесия можно представить в форме одного вектор
ного уравнения (см. [3])
gradσ
3
∓ 2kdiv(n ⊗ n)=0, (15.1.1)
где n единичное векторное поле, имеющее направление главной оси тен
зора напряжений, соответствующей наибольшему (наименьшему) собствен
ному значению σ
3
тензора напряжений. Векторное уравнение (15.1.1)явля
ется квазилинейным и принадлежит к гиперболическому типу.
Ключевым для анализа уравнения (15.1.1) выступает условие расслоен
ности векторного поля n в зоне пластического течения.
Для разрешимости уравнения (15.1.1) необходима расслоенность век
торного поля n,т.е.n · rot n =0, а с расслоенным полем естественным
образом связано каноническое преобразование координат (см. [3])
x
i
= f
i
(ω
1
,ω
2
,ω
3
)(i =1, 2, 3), (15.1.2)
где x
i
пространственные декартовы координаты, ω
j
2/3-ортогональные
канонические изостатические координаты, причем поверхности ω
3
= const
являются слоями векторного поля n.
Отображающие функции f
i
должны удовлетворять следующей нелиней
202
Весьма доступное изложение теории групп Ли читатель может найти в книге: Журавлев В.Ф.,
Климов Д.М. Прикладные методы в теории колебаний. М.: Наука, 1988. С. 139-198.
Пространственная задача математической теории пластичности, 3-е издание

Страницы