Пространственная задача математической теории пластичности. Радаев Ю.Н. - 386 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

386
Глава 15. Группы симметрий и алгебра симметрий трехмерных уравнений
математической теории пластичности
рое определяется компонентами
ς =(Ξ
1
(ω
1
,ω
2
,ω
3
,f
1
,f
2
,f
3
), Ξ
2
(ω
1
,ω
2
,ω
3
,f
1
,f
2
,f
3
),
Ξ
3
(ω
1
,ω
2
,ω
3
,f
1
,f
2
,f
3
), H
1
(ω
1
,ω
2
,ω
3
,f
1
,f
2
,f
3
),
H
2
(ω
1
,ω
2
,ω
3
,f
1
,f
2
,f
3
), H
3
(ω
1
,ω
2
,ω
3
,f
1
,f
2
,f
3
)).
(15.2.2)
Составим инфинитезимальный оператор группы преобразований (15.2.1)
ς ·∂ =Ξ
1
∂
∂ω
1
+Ξ
2
∂
∂ω
2
+Ξ
3
∂
∂ω
3
+H
1
∂
∂f
1
+H
2
∂
∂f
2
+H
3
∂
∂f
3
, (15.2.3)
где функции Ξ
1
, Ξ
2
, Ξ
3
, H
1
, H
2
, H
3
зависят от переменных ω
1
, ω
2
, ω
3
, f
1
,
f
2
, f
3
.
Рассмотрим далее один раз продолженную группу и ее касательное век-
торное поле
ς
1
. Инфинитезимальный оператор продолженной группы имеет
вид
ς
1
·∂ =Ξ
1
∂
∂ω
1
+Ξ
2
∂
∂ω
2
+Ξ
3
∂
∂ω
3
+H
1
∂
∂f
1
+H
2
∂
∂f
2
+H
3
∂
∂f
3
+
+H
1
1
∂
∂p
1
1
+H
1
2
∂
∂p
1
2
+H
1
3
∂
∂p
1
3
+H
2
1
∂
∂p
2
1
+H
2
2
∂
∂p
2
2
+
+H
2
3
∂
∂p
2
3
+H
3
1
∂
∂p
3
1
+H
3
2
∂
∂p
3
2
+H
3
3
∂
∂p
3
3
,
(15.2.4)
где через p
i
j
обозначены частные производные
∂f
i
∂ω
j
,аH
l
j
выражаются со-
гласно формулам первого продолжения [9,с.58]
H
l
j
=
∂H
l
∂ω
j
+
∂f
s
∂ω
j
∂H
l
∂f
s
−
∂f
l
∂ω
s
∂Ξ
s
∂ω
j
+
∂f
r
∂ω
j
∂Ξ
s
∂f
r
(l, j =1, 2, 3). (15.2.5)
Инфинитезимальный оператор один раз продолженной группы, относи-
тельно которой уравнения (15.1.3) инвариантны, обладает тем свойством,
что если его применить к указанным дифференциальным уравнениям и по-
ставить условия, что сами уравнения выполняются (т.е. E
i
=0), то должны
получаться тождественно нулевые выражения (т.е. должны тождественно
выполняться равенства (
ς
1
·∂)E
i
=0). Этим свойством пользуются для на-
хождения инфинитезимального оператора и группы инвариантности систе-
мы дифференциальных уравнений в частных производных.
Применим инфинитезимальный оператор один раз продолженной груп-
пы
ς
1
·∂ к левым частям системы дифференциальных уравнений в частных
производных (15.1.3):
(
ς
1
·∂)E
1
=H
1
1
p
1
3
+H
1
3
p
1
1
+H
2
1
p
2
3
+H
2
3
p
2
1
+H
3
1
p
3
3
+H
3
3
p
3
1
, (15.2.6)
Пространственная задача математической теории пластичности, 3-е издание

Страницы