Пространственная задача математической теории пластичности. Радаев Ю.Н. - 385 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

15.2. Вычисление групп симметрий системы пространственных уравнений теории
пластичности
385
ной системе уравнений в частных производных:
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
∂f
1
∂ω
1
∂f
1
∂ω
3
+
∂f
2
∂ω
1
∂f
2
∂ω
3
+
∂f
3
∂ω
1
∂f
3
∂ω
3
=0,
∂f
1
∂ω
2
∂f
1
∂ω
3
+
∂f
2
∂ω
2
∂f
2
∂ω
3
+
∂f
3
∂ω
2
∂f
3
∂ω
3
=0,
∂f
2
∂ω
1
∂f
3
∂ω
2
−
∂f
3
∂ω
1
∂f
2
∂ω
2
∂f
1
∂ω
3
+
∂f
3
∂ω
1
∂f
1
∂ω
2
−
∂f
1
∂ω
1
∂f
3
∂ω
2
∂f
2
∂ω
3
+
+
∂f
1
∂ω
1
∂f
2
∂ω
2
−
∂f
2
∂ω
1
∂f
1
∂ω
2
∂f
3
∂ω
3
= ±1.
(15.1.3)
Поставим задачу об отыскании неперерывных групп преобразований,
относительно которых система дифференциальных уравнений в частных
производных (15.1.3) будет инвариантной. Такие группы будут являться
также группами симметрий этой системы. Полная группа симметрий дан-
ной системы дифференциальных уравнений — наибольшая группа преобра-
зований, действующая на зависимые и независимые переменные и облада-
ющая свойством переводить решения системы в другие ее решения.
Левые части системы дифференциальных уравнений в частных произ-
водных (15.1.3) обозначим соответственно через E
1
, E
2
и E
3
.Приэтоммы
считаем, что отличное от нуля слагаемое в правой части третьего уравне-
ния рассматриваемой системы перенесено в левую часть.
15.2. Вычисление групп симметрий системы простран-
ственных уравнений теории пластичности
Для решения поставленной задачи (основополагающие понятия и ме-
тоды приводятся в известной монографии [9]) рассмотрим непрерывную
однопараметрическую группу (группу Ли) преобразования зависимых и
независимых переменных:
˜ω
1
=˜ω
1
(ω
1
,ω
2
,ω
3
,f
1
,f
2
,f
3
,ε)=ω
1
+ εΞ
1
(ω
1
,ω
2
,ω
3
,f
1
,f
2
,f
3
)+... ,
˜ω
2
=˜ω
2
(ω
1
,ω
2
,ω
3
,f
1
,f
2
,f
3
,ε)=ω
2
+ εΞ
2
(ω
1
,ω
2
,ω
3
,f
1
,f
2
,f
3
)+... ,
˜ω
1
=˜ω
1
(ω
1
,ω
2
,ω
3
,f
1
,f
2
,f
3
,ε)=ω
1
+ εΞ
3
(ω
1
,ω
2
,ω
3
,f
1
,f
2
,f
3
)+... ,
˜
f
1
=
˜
f
1
(ω
1
,ω
2
,ω
3
,f
1
,f
2
,f
3
,ε)=f
1
+ εH
1
(ω
1
,ω
2
,ω
3
,f
1
,f
2
,f
3
)+... ,
˜
f
2
=
˜
f
2
(ω
1
,ω
2
,ω
3
,f
1
,f
2
,f
3
,ε)=f
2
+ εH
2
(ω
1
,ω
2
,ω
3
,f
1
,f
2
,f
3
)+... ,
˜
f
3
=
˜
f
3
(ω
1
,ω
2
,ω
3
,f
1
,f
2
,f
3
,ε)=f
3
+ εH
3
(ω
1
,ω
2
,ω
3
,f
1
,f
2
,f
3
)+... ,
(15.2.1)
где ε — параметр группы преобразований.
Группа преобразований индуцирует касательное векторное поле, кото-
Ю.Н. Радаев

Страницы