Пространственная задача математической теории пластичности. Радаев Ю.Н. - 392 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

392
Глава 15. Группы симметрий и алгебра симметрий трехмерных уравнений
математической теории пластичности
Введем следующие обозначения:
(ς
1
· ∂)=3ω
3
∂
∂ω
3
+ f
1
∂
∂f
1
+ f
2
∂
∂f
2
+ f
3
∂
∂f
3
,
(ς
2
· ∂)=ω
1
∂
∂ω
1
− ω
3
∂
∂ω
3
,
(ς
3
· ∂)=
∂
∂ω
3
,
(ς
4
· ∂)=
∂
∂f
1
, (ς
5
· ∂)=
∂
∂f
2
, (ς
6
· ∂)=
∂
∂f
3
,
(ς
7
· ∂)=f
3
∂
∂f
2
− f
2
∂
∂f
3
,
(ς
8
· ∂)=f
1
∂
∂f
3
− f
3
∂
∂f
1
,
(ς
9
· ∂)=f
2
∂
∂f
1
− f
1
∂
∂f
2
.
(15.3.1)
Можно показать, что (ς
i
·∂) линейно независимы. Поэтому можно ввести линейное
пространство, представляющее собой линейную оболочку операторов (ς
i
· ∂).Девяти-
мерное линейное пространство с базисом из инфинитезимальных операторов (15.3.1)
наделяется алгебраической структурой с помощью билинейной операции коммутации
операторов (скобка Пуассона операторов) [9], c. 87 согласно
[(ς
i
· ∂), (ς
j
· ∂)] = [ς
i
,ς
j
] · ∂, (15.3.2)
где операция коммутации касательных векторных полей [ς
i
,ς
j
], в свою очередь, опреде-
ляется как:
[ς
i
,ς
j
]=(ς
i
· ∂)ς
j
− (ς
j
· ∂)ς
i
. (15.3.3)
Линейное пространство инфинитезимальных операторов с определенной операцией
коммутации операторов обладает структурой алгебры, которая носит название алгебры
Ли. Чтобы доказать, что линейная оболочка операторов (15.3.1) образует алгебру Ли,
необходимо составить таблицу коммутации базисных инфинитезимальных операторов
(ς
i
· ∂). Таблица коммутации, приведенная ниже, показывает, что инфинитезимальные
операторы (15.3.1) действительно определяют подалгебру алгебры непрерывных сим-
метрий системы дифференциальных уравнений (15.1.3). На основании этой таблицы
однозначно определяется подалгебра алгебры симметрий и структурный тензор подал-
гебры.
Ясно, что структурой алгебры Ли обладает также линейное пространство касатель-
ных векторных полей ς, представляющее собой линейную оболочку базисных касатель-
ных векторных полей ς
i
, с операцией коммутации (15.3.3). Часто удобнее проводить
рассуждения в терминах именно этой алгебры. Этим замечанием мы воспользуемся в
дальнейшем изложении. Рассматриваемая в этой части работы алгебра Ли касательных
векторных полей девятимерна.
Пространственная задача математической теории пластичности, 3-е издание

Страницы