Пространственная задача математической теории пластичности. Радаев Ю.Н. - 394 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

394
Глава 15. Группы симметрий и алгебра симметрий трехмерных уравнений
математической теории пластичности
Чтобы изучить внутреннюю структуру алгебры Ли, обычно вводится
линейное преобразование ad(˜ς) этой алгебры, заданное касательным век
торным полем ˜ς, действующее на касательное векторное поле ς однопара
метрической группы Ли по формуле (см. [9], c. 186)
ad(˜ς) <ς>=[ς, ˜ς], (15.3.4)
называемое присоединенным отображением с определяющим касательным
векторным полем ˜ς.
Линейные отображения ad(˜ς) с различными определяющими элемента
ми ˜ς образуют алгебру Ли с коммутатором, задаваемым следующим равен
ством:
[ad(ς
i
), ad(ς
j
)] = ad([ς
i
,ς
j
]). (15.3.5)
Ясно, что присоединенные отображения ad(ς
i
) (i = 1, 9) образуют базис
указанной алгебры Ли.
Понятие присоединенного отображения интересует нас лишь в связи
с тем, что оно используется при конструировании однопараметрической
группы внутренних автоморфизмов алгебры Ли касательных векторных
полей. Техника построения однопараметрической группы внутренних авто
морфизмов алгебры Ли приводится, например, в [9], c. 188-190.
Чтобы найти группу внутренних автоморфизмов алгебры Ли, необхо
димо решить уравнение Ли [9], c. 188:
∂ς
∂τ
= ad(˜ς) <ς
>=[ς
, ˜ς] (15.3.6)
с начальным условием
ς
(0) = ς. (15.3.7)
Поясним, что ς
касательное векторное поле, в которое переходит каса
тельное векторное поле ς под действием однопараметрической группы пре
образований, заданной уравнением Ли.
Сформулированная задача Коши имеет следующее решение:
ς
=exp(τad(˜ς)) <ς> . (15.3.8)
Можно показать, что преобразования (15.3.8) являются автоморфизмами
алгебры Ли. Они называются внутренними автоморфизмами.
Заметим, что в терминах инфинитезимальных операторов уравнение
(15.3.6) имеет вид
∂
∂τ
(ς
· ∂)=[(ς
· ∂), (˜ς ·∂)],
а начальное условие (15.3.7)
(ς
· ∂)|
τ=0
=(ς ·∂).
Пространственная задача математической теории пластичности, 3-е издание

Страницы