Пространственная задача математической теории пластичности. Радаев Ю.Н. - 404 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

404
Глава 16. Естественная конечномерная подалгебра алгебры симметрий трехмерных
уравнений математической теории пластичности
Уравнения пространственной задачи теории пластичности для напря
женных состояний, соответствующих ребру призмы Треска, были получе
ны и проанализированы Д.Д. Ивлевым в 1959 г. Вывод уравнений простран
ственной задачи теории идеальной пластичности для напряженных состоя
ний, соответствующих ребру призмы Треска, в координатной сетке линий
главных напряжений приведен в работе [2](см.также[3]).
Методы группового анализа применительно к системам дифференци
альных уравнений в частных производных изложены в классической моно
графии [4]. Мы будем придерживаться терминологии и обозначений, при
нятых в этой книге.
Как уже упоминалось, соотношения пространственной задачи теории
идеальной пластичности для напряженных состояний, соответствующих
ребру призмы Треска, в координатной сетке линий главных напряжений
получены в [2], [3]. Эти соотношения являются формально статически опре
делимыми, если граничные условия заданы в напряжениях. Уравнения рав
новесия, следовательно, могут быть формально рассмотрены независимо
от кинематических уравнений. Ребро призмы Треска определяется уравне
ниями
σ
1
= σ
2
= σ
3
± 2k, (16.1.1)
где σ
1
, σ
2
, σ
3
главные нормальные напряжения, k предел текучести при
сдвиге.
206
Учитывая условия (16.1.1), уравнение равновесия divσ = 0 мож
но представить в форме
gradσ
3
∓ 2kdiv(n ⊗ n)=0, (16.1.2)
где n единичное векторное поле, имеющее направление главной оси тен
зора напряжений, соответствующей наибольшему (наименьшему) собствен
ному значению σ
3
тензора напряжений. Уравнение (16.1.2) принадлежит к
гиперболическому типу, нормали к характеристическим поверхностям об
разуют круговой конус с углом полураствора π/4 и осью, направленной
вдоль вектора n (направления, ортогональные n, тоже указывают ориен
тацию характеристических площадок).
Воспользуемся свойством расслоенности векторного поля n в зоне пла
стического течения (n · rot n =0)[3]. Это условие позволяет нам ввести
2/3-ортогональные криволинейные координаты ω
j
(j =1, 2, 3), определяе
мые по векторному полю n так, что поверхности ω
3
= const являются слоя
ми поля n. Расслоенное статически допустимое поле напряжений порожда
ет каноническое отображение некоторой области пространства на область
пластического течения (см. [3]). Подлежащее определению каноническое
206
Пределы текучести при одноосном растяжении и сдвиге связаны, согласно критерию текучести
Треска, соотношением Y =2k.
Пространственная задача математической теории пластичности, 3-е издание

Страницы