Пространственная задача математической теории пластичности. Радаев Ю.Н. - 413 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

16.3. Оптимальная система одномерных подалгебр 413
B
1
, B
2
, B
3
, C
10
, C
11
, C
12
) подвергается различным преобразованиям из спис-
ка (1)–(12) так, чтобы ”упростить” его настолько, насколько это представ-
ляется возможным (в частности, стремясь привести к нулевому значению
как можно больше из указанных девяти постоянных). Далее мы выбираем
из каждого класса инфинитезимальных операторов, переводящихся друг
в друга автоморфизмами (1)–(12), по одному простейшему представителю
и формируем оптимальную систему одномерных подалгебр Θ
1
естествен-
ной конечномерной подалгебры алгебры непрерывных симметрий системы
дифференциальных уравнений в частных производных (16.1.4).
При поиске указанных простейших представителей, кроме однопарамет-
рических групп автоморфизмов, будем применять также преобразование,
заключающееся в умножении простейшего инфинитезимального оператора
на некоторую постоянную (так называемое преобразование умножения).
Рассмотрим, как изменяются коэффициенты C
1
, C
2
, C
3
, A
1
, A
2
, A
3
, B
1
,
B
2
, B
3
, C
10
, C
11
, C
12
в представлении ”конечномерной” части общего инфи-
нитезимального оператора (16.2.7) группы симметрий системы уравнений
(16.1.4) при применении к ним однопараметрических групп автоморфизмов
из приведенного выше списка (1)–(12).
Рассмотрим A
i
и B
i
как компоненты векторов A и B в трехмерном
пространстве x
1
, x
2
, x
3
. Тогда автоморфизмы (7), (8), (9) представляют
собой повороты их как жесткого целого на различные углы τ вокруг осей
x
1
, x
2
, x
3
.
Если вектор A ненулевой (т.е. хотя бы одна из его компонент A
i
не рав-
на нулю), то такими поворотами можно перевести вектор A в положение,
когда он будет коллинеарен оси x
1
. Ясно, что тогда A
2
= A
3
=0, A
1
=0.
При этом, если вектор B не равен нулю (т.е. хотя бы одна из его компо-
нент B
i
отлична от нуля), то поворотом вокруг оси x
1
вектор B можно
преобразовать так, чтобы его проекция на ось x
3
(компонента B
3
)была
бы равна нулю (B
3
=0). Применяя последовательно автоморфизмы (5),
(6) при значениях τ, равных соответственно
B
2
C
1
C
2
1
+ A
2
1
и
B
2
A
1
C
2
1
+ A
2
1
,можно
добиться того, чтобы коэффициент B
2
стал нулевым, не изменяя при этом
нулевого значения B
3
.
Если вектор A равен нулю (т.е. A
1
= A
2
= A
3
=0), то поворотами (7),
(8), (9) вектор B заведомо может быть переведен в такое положение, когда
он будет коллинеарен оси x
1
, и поэтому снова получаем B
2
= B
3
=0.
Таким образом, при любых обстоятельствах можно добиться того, что-
бы выполнялись равенства A
2
= A
3
=0и B
2
= B
3
=0.
Следует отметить, что, если C
1
=0, то, применяя автоморфизм (4) при
τ, равном
B
1
C
1
, удается привести к нулевому значению B
1
.
Дальнейшие рассуждения удобнее всего разбить на четыре этапа.
Ю.Н. Радаев

Страницы