Пространственная задача математической теории пластичности. Радаев Ю.Н. - 425 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

Глава 17. Группы симметрий дифференциальных уравнений плоской задачи
математической теории пластичности
425
осесимметричной задачи исследованы в работе [6].
Общий групповой анализ пространственных уравнений теории идеаль
ной пластичности на ребре призмы Треска, представленных в декарто
вых координатах, дан в [7, с. 73-77]. Там же приводятся инвариантные и
частично-инвариантные решения трехмерных уравнений. Плоская задача
изучена лучше, однако поиск точных решений уравнений плоского дефор
мированного состояния с помощью методов группового анализа по-прежне
му остается актуальной задачей.
208
Групповой анализ уравнений простран
ственной задачи теории идеальной пластичности в изостатических коорди
натах приводится в [8]. Там же построена оптимальная система одномерных
подалгебр одной естественной конечномерной подалгебры алгебры симмет
рий трехмерных уравнений (см. также [9]).
Методы группового анализа применительно к системам дифференци
альных уравнений в частных производных изложены в классических мо
нографиях [10], [11]. Оригинальное и компактное изложение теории групп
Ли читатель может найти в книге: Журавлев В.Ф., Климов Д.М. Приклад
ные методы в теории колебаний. М.: Наука, 1988. С. 139-198. Теории групп
Ли посвящена также известная монография [12]. Одной из основных задач
группового анализа систем дифференциальных уравнений является иссле
дование действия допускаемой данной системой дифференциальных урав
нений группы на множестве решений этой системы. Допускаемая группа
детерминирует алгебраическую структуру на множестве решений, которую
можно использовать, в частности, для определения тех классов решений,
отыскание которых в каком-либо смысле проще по сравнению с построени
ем общего решения.
Напомним, что групповой анализ исторически развивался как реали
зация принципа простоты. Сущность указанного принципа заключается
в том, что уравнения и системы дифференциальных уравнений математи
ческой физики должны быть достаточно просты для того, чтобы их мож
но было анализировать и решать. Групповой анализ выдвигает в качестве
критерия простоты условие того, чтобы система дифференциальных урав
нений, моделирующая тот или иной физический процесс или состояние,
допускала группу с определенными свойствами или, когда по каким-то
причинам оказывается невозможным точно указать такие свойства, макси
мально широкую группу. Принцип простоты, понимаемый в расширенном
208
См., например:
Сенашов С.И., Яхно А.Н. Двумерная пластичность: симметрии, законы сохранения и точные ре
шения/ Проблемы механики деформируемых тел и горных пород: Сб. статей, посв. 70-летию проф.
Л.В. Ершова. Под ред. акад. РАН А.Ю. Ишлинского. М.: Изд-во Московского гос. горного ун-та, 2001.
С. 283-298.
Аннин Б.Д. Плоская задача идеальной пластичности в области, ограниченной логарифмическими
спиралями/ Проблемы механики неупругих деформаций: Сб. статей. К 70-летию Д.Д. Ивлева. М.:
Физматлит, 2001. С. 42-46.
Ю.Н. Радаев

Страницы