Пространственная задача математической теории пластичности. Радаев Ю.Н. - 426 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

426
Глава 17. Группы симметрий дифференциальных уравнений плоской задачи
математической теории пластичности
смысле, имеет весьма важные применения в теории нелинейных уравнений
с частными производными.
209
Задача о равновесии тела, напряженное состояние которого соответству
ет ребру призмы Треска, статически определима, если граничные условия
заданы в напряжениях. Уравнения равновесия могут быть формально рас
смотрены независимо от кинематических уравнений. Для ребра призмы
Треска, определяемого условием σ
1
= σ
2
= σ
3
± 2k (σ
1
, σ
2
, σ
3
главные
нормальные напряжения, k предел текучести при сдвиге), уравнения рав
новесия можно представить в форме одного векторного уравнения
gradσ
3
∓ 2kdiv(n ⊗ n)=0, (17.1.1)
где n единичное векторное поле, имеющее направление главной оси тен
зора напряжений, соответствующей наибольшему (наименьшему) собствен
ному значению σ
3
тензора напряжений. Уравнение (17.1.1) принадлежит к
гиперболическому типу.
Ключевым для анализа уравнения (17.1.1) выступает условие расслоен
ности векторного поля n в зоне пластического течения.
Для разрешимости уравнения (17.1.1) необходима расслоенность век
торного поля n,т.е.n · rot n =0, а с расслоенным полем естественным
образом связано каноническое преобразование координат (см. [3])
x
i
= f
i
(ω
1
,ω
2
,ω
3
)(i =1, 2, 3), (17.1.2)
где ω
j
2/3-ортогональные канонические изостатические координаты, при
чем поверхности ω
3
= const являются слоями поля n.
В случае плоского деформированного состояния условие пластичности
σ
1
− σ
2
=2k показывает, что напряженное состояние соответствует грани
призмы Треска. Однако и в этом случае уравнение равновесия все же уда
ется привести (см. [3]) к двумерному аналогу (17.1.1), в которое вместо σ
3
следует подставить полусумму главных напряжений
σ
1
+ σ
2
2
,
что, впрочем, не изменяет уравнения (17.1.1), поскольку в условиях плос
кого деформированного состояния при использовании критерия текучести
Треска
σ
3
=
σ
1
+ σ
2
2
.
209
Как принцип простоты применяется к вопросам классификации существенно нелинейных систем
дифференциальных уравнений с частными производными, показано в работах автора (см. также главы
10, 11):
Радаев Ю.Н. Об одном принципе классификации уравнений осесимметричной задачи теории пластич
ности// Вестник Самарского гос. университета. Естественнонаучная серия. №3(37). 2005. С. 43-56;
Радаев Ю.Н., Гудков В.А. О t-гиперболичности пространственных уравнений теории пластичности//
Вестник Самарского гос. университета. Естественнонаучная серия. №3(37). 2005. С. 57-71.
Пространственная задача математической теории пластичности, 3-е издание

Страницы