Пространственная задача математической теории пластичности. Радаев Ю.Н. - 428 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

428
Глава 17. Группы симметрий дифференциальных уравнений плоской задачи
математической теории пластичности
17.2. Вычисление группы инвариантности системы урав-
нений плоской задачи
Для решения поставленной задачи рассмотрим, следуя [10], непрерыв-
ную однопараметрическую группу преобразований зависимых и независи-
мых переменных (группу Ли)
˜υ
1
=˜υ
1
(υ
1
,υ
2
,f,h,ε)=υ
1
+ εΞ
1
(υ
1
,υ
2
,f,h)+... ,
˜υ
2
=˜υ
2
(υ
1
,υ
2
,f,h,ε)=υ
2
+ εΞ
2
(υ
1
,υ
2
,f,h)+... ,
˜
f =
˜
f(υ
1
,υ
2
,f,h,ε)=f + εH
1
(υ
1
,υ
2
,f,h)+... ,
˜
h =
˜
h(υ
1
,υ
2
,f,h,ε)=h + εH
2
(υ
1
,υ
2
,f,h)+... ,
(17.2.1)
где ε — скалярный параметр группы преобразований.
Группа преобразований индуцирует касательное векторное поле, кото-
рое определяется компонентами [10,с.55]
ς =(Ξ
1
(υ
1
,υ
2
,f,h), Ξ
2
(υ
1
,υ
2
,f,h), H
1
(υ
1
,υ
2
,f,h), H
2
(υ
1
,υ
2
,f,h)).
(17.2.2)
Составим инфинитезимальный оператор группы [10,с.55]
ς · ∂ =Ξ
1
∂
∂υ
1
+Ξ
2
∂
∂υ
2
+H
1
∂
∂f
+H
2
∂
∂h
. (17.2.3)
По инфинитезимальному оператору однопараметрическая группа пре-
образований (17.2.1) восстанавливается единственным образом (с точно-
стью до замены параметра ε). Для этого необходимо проинтегрировать
задачу Коши для автономной системы уравнений
d˜υ
1
dτ
=Ξ
1
(˜υ
1
, ˜υ
2
,
˜
f,
˜
h),
d˜υ
2
dτ
=Ξ
2
(˜υ
1
, ˜υ
2
,
˜
f,
˜
h),
d
˜
f
dτ
=H
1
(˜υ
1
, ˜υ
2
,
˜
f,
˜
h),
d
˜
h
dτ
=H
2
(˜υ
1
, ˜υ
2
,
˜
f,
˜
h),
(17.2.4)
где τ — канонический параметр группы, с начальными данными
˜υ
1
τ=0
= υ
1
, ˜υ
2
τ=0
= υ
2
,
˜
f
τ=0
= f,
˜
h
τ=0
= h.
Рассмотрим далее один раз продолженную группу и ее касательное век-
торное поле
ς
1
. Инфинитезимальный оператор продолженной группы имеет
Пространственная задача математической теории пластичности, 3-е издание

Страницы