Моделирование задач радиофизики и электроники в системе Mathcad. Радченко Ю.С - 17 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

17
Составные квадратурные формулы являются самыми употребительными
из-за их простоты и точности. При получении этих формул интервал [a,b]
разбивается на n подынтервалов величиной h , внутри которых функция f(x)
интерполируется многочленом небольшой степени. Таким образом,
получаются составные или "общие" формулы прямоугольников, трапеций,
Симпсона и т .д .
Формулы Ньютона - Котеса с n узлами интерполяции являются не
приближенными, а точными для функции y = f (x) в виде полинома степени
n-1.
Если узлы интерполяции x
k
выбрать неравномерно в соответствии с
расположением нулей полинома Лежандра порядка n , то получается
формула Гаусса. Формула Гаусса является точной, если f(x) - полином
степени 2n-1.
Перечислим некоторые наиболее употребительные формулы численного
интегрирования [19].
I. Формулы прямоугольников:
а) левых прямоугольников
∑
−
=
++=
1n
0i
R)iha(fhI ,
б) правых прямоугольников
∑
=
−+=
n
1
i
R)iha(fhI ,
где R = nh
2
/ 2f
`′
(ξ), ξ∈ [a,b] - точка, в которой f′(x) достигает
максимума;
в) модифицированная формула прямоугольников
)(f
24
nh
)
2
h
iha(fhI
n
1
i
3
ξ
′′
⋅+++=
∑
=
.
2.Формула трапеций
)(f
12
nh
2
)b(f)a(f
)iha(fhI
3
n
1i
ξ
′′′
−
+
++=
∑
=
.
3. Модифицированная формула трапеций (формула Эйлера-Маклорена)
[]
).(f
720
nh11
)a(f)b(f
12
h
2
)b(f)a(f
)iha(fhI
4
52
n
1i
ξ+
′
−
′
−
+
++=
∑
=
.
4. Формула Симпсона (формула парабол)
I = (h / 3){f(a) + f(b)+4[f(a+h)+f(a + 3h) + … +f(a +(n-1)h)] + 2[f(a+2h)+f(a +
4h) + … +f(a +(n-2)h]} – nh
5
f
4
(ξ) / 180, n = 2k, k = 1,2… . 
                                                        17

      Сос т авные к вад рат урные ф ормулы являю т с я с амыми упот ребит ель ным и
из-за их прос т от ы и т очнос т и. При получении эт их ф ормул инт ервал [a,b]
разбивает с я на n под ынт ервалов величиной h , внут ри к от орых ф унк ция f(x)
инт ерполирует с я м ногочленом неболь ш ой с т епени. Так им образом,
получаю т с я с ос т авные или "общ ие" ф ормулы прямоуголь ник ов, т рапеций,
Симпс она и т .д .
      Ф ормулы Н ь ю т она - Кот ес а с n узлами инт ерполяции являю т с я не
приближенным и, а т очным и д ля ф унк ции y = f (x) в вид е полинома с т епени
 n-1.
     Ес ли узлы инт ерполяции xk выбрат ь неравномерно в с оот вет с т вии с
рас положением нулей полинома Лежанд ра поряд к а n              , т о получает с я
ф ормула Г аус с а. Ф орм ула Г аус с а являет с я т очной, ес ли f(x) - полином
с т епени 2n-1.
      Перечис лим нек от орые наиболее упот ребит ель ные ф ормулы чис ленного
инт егрирования [19].
I. Ф орм улы прямоуголь ник ов:
                                                 n −1
а) левых прямоуголь ник ов                I = h ∑ f ( a + ih ) + R ,
                                                 i =0
                                                        n
б) правых прямоуголь ник ов                  I = h ∑ f ( a + ih ) − R ,
                                                    i=1
гд е R = nh / 2f (ξ), ξ∈ [a,b] - т очк а, в к от орой f′(x) д ос т игает
                2     `′

мак с имума;
 в) мод иф ицированная ф ормула прямоуголь ник ов
       n           h nh 3
I = h ∑ f (a + ih + ) +    ⋅ f ′′( ξ ) .
      i=1          2    24

2.Ф ормула т рапеций

      n                 f ( a) + f ( b )  nh 3
I = h  ∑ f ( a + ih ) +                   − 12 f ′′′( ξ )   .
      i=1                      2         

3. М од иф ицированная ф ормула т рапеций (ф ормула Э йлера-М ак лорена)
      n                 f ( a) + f ( b )  h 2                       11nh 5 4
I = h  ∑ f ( a + ih ) +                   − 12 [f ′(b ) − f ′(a )] + 720 f (ξ ). .
       i =1                    2         

4. Ф ормула Симпс она (ф ормула парабол)

I = (h / 3){f(a) + f(b)+4[f(a+h)+f(a + 3h) + … +f(a +(n-1)h)] + 2[f(a+2h)+f(a +

4h) + … +f(a +(n-2)h]} – nh5 f4(ξ) / 180, n = 2k,                 k = 1,2… .

Страницы