Моделирование задач радиофизики и электроники в системе Mathcad. Радченко Ю.С - 18 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

18
5. Формула Гаусса
),(f
])!n2)[(1n2(
)!n(2
)x(fA
2
ab
I
n2
3
41n2
n
1i
ii
ξ
+
+
−
=
+
=
∑
где ,t
2
ab
2
ab
x
ii
−
+
+
=
t
i
- значения узлов на стандартном интервале [-1,1], совпадающие с
положением нулей полиномов Лежандра. Значения узлов t
i
и
коэффициентов A
i
. приведены в [19]:
n= I: t
i
= 0, A
i
= 2;
n= 2: - t
1
= t
2
= 0,577 350 269, A
1
=A
2
= 1;
n= 3: - t
1
= t
3
= 0,774 596 669, A
1
=A
3
= 0,555 555 555,
t
2
=0, A
2
= 0,888 888 ;
n = 4: - t
1
= t
4
= 0,861 136 311, А
1
=А
4
= 0,347 854 845,
-t
2
=t
4
= 0,339 981 043, А
1
= А
3
=0,652 145 155;
n= 5: - t
1
= t
5
= 0.906 179 846, A
1
=A
5
= 0,236 926 885,
- t
2
=t
4
= 0,538 468 310, A
2
=A
4
=0,478 628 670,
- t
3
=0, A
3
= 0,568 888 888.
Сравнительный анализ результатов расчета по различным квадратурным
формулам показывает, что:
а) формула Симпсона при n ординатах дает примерно ту же степень
точности, что формула трапеций при 2n ординатах ;
б) метод Гаусса при n ординатах дает примерно ту же степень точности, что
и формула Симпсона при 2n ординатах ;
в) модифицированные формулы прямоугольников и трапеций имеют такой
же порядок точности, что формулы трапеций и Симпсона соответственно.
Реализацию различных формул численного интегрирования
средствами системы MathCAD - 2001 иллюстрируют программы
вычисления определённого интеграла от функции f(x) на отрезке [a,b] с
числом разбиений N (рис . 2.1), а также экстраполяционные формулы (рис .
2.2). О точности методов и эффективности экстраполяционных формул
позволяет судить сравнение результатов интерполирования для двух
примеров. 
                                                    18

5. Ф ормула Г аус с а

   b−a n                     22n + 1 (n! )4
I=    ∑    A if ( x i ) +                       f 2n ( ξ ),
    2 i =1                ( 2n + 1)[( 2n )! ] 3

             b+a b−a
гд е      xi =    +    ti ,
               2     2
t i - значения узлов на с т анд арт ном инт ервале [-1,1], с овпад аю щ ие с
положением нуле й полиномов Лежанд ра. Значения узлов              ti      и
к оэф ф ициент ов Ai . привед ены в [19]:

n= I:             ti= 0,                                      Ai= 2;

n= 2:            - t1= t2 = 0,577 350 269,                    A1=A2= 1;

n= 3:            - t1 = t3 = 0,774 596 669,                   A1=A3= 0,555 555 555,
                   t 2=0,                                     A2 = 0,888 888 ;

n = 4:           - t1= t4 = 0,861 136 311,                    А 1=А 4= 0,347 854 845,
                 -t2 =t 4 = 0,339 981 043,                    А 1= А 3=0,652 145 155;

n= 5:            - t1= t5 = 0.906 179 846,                    A1=A5= 0,236 926 885,
                 - t2=t4= 0,538 468 310,                      A2=A4=0,478 628 670,
                 - t3=0,                                      A3 = 0,568 888 888.


     Сравнит ель ный анализ резуль т ат ов рас чет а по различным к вад рат урным
ф ормулам пок азывает , чт о:
а) ф ормула Сим пс она при n орд инат ах д ает примерно т у же с т епень
т очнос т и, чт о ф ормула т рапе ций при 2n орд инат ах ;
б) мет од Г аус с а при n орд инат ах д ает примерно т у же с т епень т очнос т и, чт о
и ф ормула Сим пс она при 2n орд инат ах ;
в) мод иф ицированные ф ормулы прямоуголь ник ов и т рапеций имею т т ак ой
же поряд ок т очнос т и, чт о ф ормулы т рапеций и Симпс она с оот вет с т венно.



     Реал изацию раз л ичн ы х формул числ ен н ого ин тегриров ан ия
средств ами системы MathCAD - 2001 иллю с т рирую т программ ы
вычис ления опред елё нного инт еграла от ф унк ции f(x) на от резк е [a,b] с
чис лом разбиений N (рис . 2.1), а т ак же эк с т раполяционные ф ормулы (рис .
2.2). О т очнос т и мет од ов и эф ф ек т ивнос т и эк с т раполяционных ф ормул
позволяет с уд ит ь с равнение резуль т ат ов инт ерполирования д ля д вух
примеров.

Страницы