Моделирование задач радиофизики и электроники в системе Mathcad. Радченко Ю.С - 35 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

35
Цепь на рис . 3.6 описывается уравнениями Кирхгофа для тока в цепи i и
напряжения на ёмкости u с учётом заданной ВАХ диода I(u):
−
=
−−
=
C
)u(Ii
dt
du
L
uiRE
dt
di
Решение системы методом Эйлера показано в документе на рис . 3.7.
Задание N -образной ВАХ туннельного диода осуществлялось векторами U,
I, затем проведена сплайн-интерполяция зависимости I(u), на основе
использования которой решена приведённая система уравнений.
Результаты решения позволили изобразить фазовый портрет колебаний
(на фоне характеристики диода), временные диаграммы тока и напряжения.
В первом из рассматриваемых случаев получены почти гармонические
колебания, во втором – колебания релаксационные.
ЗАДАНИЕ
1. Изучите применение приведённых формул для решения
дифференциальных уравнений и стандартные средства системы MathCAD-
2001 на примере
а) задач, рассмотренных в приведённых примерах , и тестовой задачи -
решения уравнения y' = -y для начальных условий x0 = 0, y0 = 1 (точное
решение y = exp (-x));
б) решения дифференциальных уравнений из приведенных примеров.
Сравните точность решений, полученных разными методами.
2. Решите указанные прикладные задачи , используя численное решение
ОДУ.
Примеры дифференциальных уравнений и их точных решений
( решение на интервале[a,b] при начальных условиях y(x))
1. y′= y - 2x/y; y(0)=1; [0,1]; (2x+1)
1/2
.
2. y′ + 2xy = x exp(-x
2
); y(0)=0; [0,1]; 0,5x
2
exp(-x
2
).
3. y′ + y cosx = 0,5sin2x; y(0)=0; [0,1]; sinx + exp(- sinx) - 1.
4. x
2
y′ -y = x
2
exp(x-1/x); y(1)=1; [1,2]; exp(x-1/x).
5. (x
2
+1)y′ + xy –1 =0; y(0)=0; [0,1]; ln([x+(x
2
+1)
1/2
]/ (x
2
+1)
1/2
.
6 . y′ + exp(x-y) = exp[x(1-x)]+2x; y(0)=0; [0,1]; x
2
.
7. xy′ = ylny; y(1)=e; [1,2]; exp(x)/x.
8. y′′ + 10y′x +10y = 0; y′(0) =0;
y(0) =1; [0,1]; exp(-5x
2
). 
                                         35

    Цепь на рис . 3.6 опис ывает с я уравнениями Кирх гоф а д ля т ок а в цепи i и
напряжения на ё мк ос т и u с учё т ом зад анной ВА Х д иод а I(u):

      di E − iR − u
      dt =   L
      du i − I(u )
           =
      dt      C

     Реш ение с ис т ем ы мет од ом Э йлера пок азано в д ок умент е на рис . 3.7.
Зад ание N -образной ВА Х т уннель ного д иод а ос ущ ес т влялос ь век т орами U,
I, зат ем провед ена с плайн-инт ерполяция завис имос т и I(u), на ос нове
ис поль зования к от орой реш ена привед ё нная с ис т ема уравнений.
     Резуль т ат ы реш ения позволили изобразит ь ф азовый порт рет к олебаний
(на ф оне х арак т ерис т ик и д иод а), временные д иаграмм ы т ок а и напряжения.
В первом из рас с мат риваемых с лучаев получены почт и гармоничес к ие
к олебания, во вт ором –к олебания релак с ационные.

                                       ЗА Д А Н И Е

      1. Изучит е применение привед ё нных              ф ормул д ля реш е ния
д иф ф еренциаль ных уравнений и с т анд арт ные с ред с т ва с ис т ем ы MathCAD-
2001 на примере
      а) зад ач, рас с мот ренных в привед ё нных примерах , и т ес т овой зад ачи -
реш ения уравнения y' = -y д ля началь ных ус ловий x0 = 0, y0 = 1 (т очное
реш ение y = exp (-x));
      б) реш ения д иф ф еренциаль ных уравнений из привед енных примеров.
Сравнит е т очнос т ь реш ений, полученных разным и мет од ами.
      2. Реш ит е ук азанные прик лад ные зад ачи, ис поль зуя чис ленное реш ение
О Д У.

     П римеры диф ферен циал ьн ы х урав н ен ий и их точн ы х реш ен ий
        (реш ен ие н а ин терв ал е[a,b] при н ачал ьн ы х усл ов иях y(x))


1. y′= y - 2x/y;                      y(0)=1; [0,1];     (2x+1) 1/2.
2. y′+ 2xy = x exp(-x2 );             y(0)=0; [0,1];      0,5x2 exp(-x2).
3. y′+ y cosx = 0,5sin2x;             y(0)=0; [0,1];      sinx + exp(- sinx) - 1.
4. x2y′-y = x2 exp(x-1/x);            y(1)=1; [1,2];      exp(x-1/x).
5. (x2 +1)y′+ xy –1 =0;               y(0)=0; [0,1];      ln([x+(x2 +1)1/2 ]/ (x2+1)1/2.
6 . y′ + exp(x-y) = exp[x(1-x)]+2x;   y(0)=0; [0,1];      x2 .
7. xy′= ylny;                         y(1)=e; [1,2];      exp(x)/x.
8. y′′+ 10y′x +10y = 0;                y′(0) =0;
                                       y(0) =1; [0,1];   exp(-5x2).

Страницы