Моделирование задач радиофизики и электроники в системе Mathcad. Радченко Ю.С - 39 стр.

                                           39

Т Е М А 4. М О Д Е ЛИ РО В А Н И Е СИ СП О ЛЬ ЗО В А Н И Е М ЧИ СЛЕ Н Н О ГО
                   РЕ Ш Е Н И Я Н Е ЛИ Н Е Й Н Ы Х У РА В Н Е Н И Й
       Н еобх од имос т ь чис ленного реш ения нелине йных уравнений возник ает
при мод елировании боль ш ого чис ла разноплановых зад ач рад иоф изик и и
элек т роник и.
       Ч ис ленное реш е ние нелинейного уравнения f(x)=0 [1-5,13-20] с вод ит с я к
д вум эт апам : а) поис к у и оценк е от резк а [a,b], на к от ором нах од ит с я к орень
(от д еление или изоляция к орня); б) к пос лед оват ель ному ут очнению
приближенного значения к орня.
      Первый эт ап начинает с я с проверк и знак ов f(x) на к онцах ис х од ного
инт ервала. При эт ом с чит ает с я, чт о ес ли f(x) знак опеременна на к онцах
инт ервала, т о внут ри него с ущ ес т вует х от я бы од ин к орень уравнения f(x)=0,
а ес ли f′(x) с ущ ес т вует и не меняет знак а на [a,b], т о к орень являет с я
ед инс т венным. Зат ем производ ит с я с ужение от резк а и выбор т ой час т и
инт ервала, на к от орой f(x) имеет разные знак и.
       Выбор мет од а реш ения уравнения ос ущ ес т вляет с я в завис имос т и от
вид а ф унк ции f(x): ес ли f(x) на инт ервале                   [a,b], непрерывна,
но не д иф ф еренцируема, т о могут быт ь ис поль зованы мет од ы половинного
д еления, золот ого с ечения, с лучайных проб (М онт е-Карло); ес ли f(x)
непрерывно д иф ф еренцируема на от резк е [a,b], т о можно применят ь т ак же
различные ит ерационные мет од ы: мет од прос т ых ит ераций, мет од х орд ,
мет од Н ь ю т она, мод иф ицированный мет од Н ь ю т она, мет од Э йт к ена-
Ст еф ф енcона и т .д . Из перечис ленных мет од ов безус ловную с х од имос т ь
име ю т мет од ы с лучайных проб, бис ек ции, золот ого с ечения. Сх од имос т ь
ит ерационных мет од ов обес печивает с я при наложении д ополнит е ль ных
т ребований на вид f(x) и выбор началь ного приближения, причем
повыш енной с х од имос т ь ю по с равнению с мет од ом прос т ых ит ераций
облад аю т мет од ы Н ь ю т она, Э йт к ена-Ст еф ф енcона.
       Рас с мот рим нек от орые из наиболее рас прос т раненных чис ленных
мет од ов реш ения нелинейных уравнений [l-5,13-20].
I. М ет од половинного д еления (бис ек ции)
       Ис х од ный инт ервал [a,b] д елит с я пополам , выбирает с я нулевое
приближение x0 = (a+b) / 2. О пред еляет с я f(x0). Ес ли f(x0) = 0, т о ξ = x0
являет с я т очным значением к орня уравнения, в прот ивном с лучае
выбирает с я т от из от резк ов [a, x0],[x0, b], на к онцах к от орого f(x) имеет
разные знак и. Н овый инт ервал с нова д елит с я пополам , пок а не буд ет найд ен
т очный к орень уравнения или величина от резк а не с т анет мень ш е зад анной
т очнос т и ε.
2. М ет од прос т ых ит ераций
       Ис х од ное уравнение преобразует с я к вид у x = φ (x). Н а от резк е [a,b],
выбирает с я т очк а       x0    (нуле вое приближение), в к ачес т ве с лед ую щ его
приближения выбирает с я                 x1 = φ (x0 ) и т .д . Так им образом, мет од
реализует с я ит ерационной ф ормулой xi+1 = φ (xi), пок а |xi+1 -xi| > ε.
Сх од имос т ь мет од а обес печивает с я при выполнении ус ловия |φ ′(x) | < 1 на
от резк е [а, b].