Моделирование задач радиофизики и электроники в системе Mathcad. Радченко Ю.С - 40 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

40
3. Метод хорд (секущих )
Метод основан на предположении о линеаризации функции f(x) на
интервале [а, b] путем замены кривой y = f(x) хордой. В качестве первого
приближения используется точка пересечения хорды с осью абсцисс. Затем
в качестве нового интервала поиска корня выбирается тот из отрезков
[a, x
1
],[x
1
, b], на концах которого f(х ) имеет разные знаки. На новом
интервале f (х ) снова заменяется хордой и так далее, пока |x
i+1
-x
i
| не станет
меньше заданной точности.
Для обеспечения сходимости метода хорд используются две
итерационные формулы:
а) если f(b)f`″ (b) > 0 то
x
i+1
=x
i
– [f(x
i
)(b-x
i
)] / [f(b) – f(a)],
(в качестве нулевого приближения используется x
0
=a, конец хорды х = b
неподвижен);
б) если f(a)f`″ (a) > 0, то
x
i+1
=x
i
– [f(x
i
)(x
i
- a)] / [f(x
i
) – f(a)],
(в качестве нулевого приближения используется x
0
= b, конец хорды x = a
неподвижен).
4. Метод Ньютона (касательных )
Идея метода Ньютона аналогична идее метода хорд , но линеаризация
f(x) производится в результате замены кривой y = f(x) на рассматриваемом
интервале касательной в точке анализируемого приближения. Итерационная
формула имеет вид
x
i+1
=x
i
– f(x
i
) / f ′(x
i
).
Сходимость метода, как и в предыдущем случае , обеспечивается
выбором начального приближения, удовлетворяющего условию f(x)f`″ (x)
> 0, т .е. в качестве x
0
выбирается тот конец отрезка [a,b], для которого знак
f″ (x) совпадает со знаком f(x).
Если нахождение производной f′(x) затруднено, то могут быть
использованы модифицированные формулы:
а) x
i+1
=x
i
– f(x
i
) / k, где k - константа, близкая к среднему значению f′ (x) на
интервале [a,b];
б) x
i+1
=x
i
+ Δ x f(x
i
) / [f(x
i
) - f(x
i
- Δ x)] или x
i
+1
=x
i
- Δ x f(x
i
) / [f(x
i
+ Δ x) - f(x
i
)],
где Δx - малое приращение x.
Критерием окончания итерационного процесса в методах Ньютона и хорд
является величина x
i+1
- x
i
, условие окончания итерационного процесса
|x
i+1
- x
i
| < ε.
Реализация в системе MathCAD 2001 программ численных методов
решения нелинейных уравнений на примере методов половинного деления
(Больцано) и касательных (Ньютона) и их применение к решению уравнения
показаны на рис .4.1. 
                                               40

3. М ет од х орд (с ек ущ их )
       М ет од ос нован на пред положении о линеаризации ф унк ции f(x) на
инт ервале [а, b] пут ем замены к ривой y = f(x) х орд ой. В к ачес т ве первого
приближения ис поль зует с я т очк а перес ечения х орд ы с ос ь ю абс цис с . Зат ем
в к ачес т ве нового инт ервала поис к а к орня выбирает с я т от из от резк ов
 [a, x1],[x1, b], на к онцах к от орого f(х ) имеет разные знак и. Н а новом
инт ервале f (х ) с нова заменяет с я х орд ой и т ак д алее, пок а |xi+1 -xi| не с т анет
мень ш е зад анной т очнос т и.
       Д ля обес печения с х од имос т и мет од а х орд ис поль зую т с я д ве
ит ерационные ф ормулы:
а) ес ли f(b)f`″ (b) > 0 т о
                       xi+1 =xi – [f(xi)(b-xi)] / [f(b) – f(a)],
(в к ачес т ве нулевого приближения ис поль зует с я x0 =a, к онец х орд ы х = b
непод вижен);
б) ес ли f(a)f`″ (a) > 0, т о
                      xi+1 =xi – [f(xi)(xi - a)] / [f(xi) – f(a)],
 (в к ачес т ве нуле вого приближения ис поль зует с я x0 = b, к онец х орд ы x = a
непод вижен).
4. М ет од Н ь ю т она (к ас ат ель ных )
       Ид ея мет од а Н ь ю т она аналогична ид ее мет од а х орд , но линеаризация
f(x) производ ит с я в резуль т ат е замены к ривой y = f(x) на рас с мат риваемом
инт ервале к ас ат ель ной в т очк е анализируемого приближения. Ит ерационная
ф ормула имеет вид
                   xi+1 =xi – f(xi) / f ′(xi).
       Сх од имос т ь мет од а, к ак и в пред ыд ущ ем с лучае, обес печивает с я
выбором началь ного приближения, уд овлет воряю щ его ус ловию f(x)f`″ (x)
> 0, т .е. в к ачес т ве x0 выбирает с я т от к онец от резк а [a,b], д ля к от орого знак
f″ (x) с овпад ает с о знак ом f(x).
       Ес ли нах ожд ение производ ной                f′(x) зат руд нено, т о могут быт ь
ис поль зованы мод иф ицированные ф ормулы:
а) xi+1 =xi – f(xi) / k, гд е k - к онс т ант а, близк ая к с ред нему значению f′ (x) на
инт ервале [a,b];
б) xi+1 =xi + Δ x f(xi) / [f(xi) - f(xi - Δ x)] или xi +1 =xi - Δ x f(xi) / [f(xi + Δ x) - f(xi)],
гд е Δ x - малое приращ ение x.
Крит ерием ок ончания ит ерационного процес с а в мет од ах Н ь ю т она и х орд
являет с я величина xi+1 - xi , ус ловие ок ончания ит ерационного процес с а
                       |xi+1 - xi | < ε.
       Реал изация в системе MathCAD 2001 программ числ ен н ы х методов
реш ен ия н ел ин ейн ы х урав н ен ий на примере мет од ов половинного д еления
(Б оль цано) и к ас ат ель ных (Н ь ю т она) и их применение к реш ению уравнения
пок азаны на рис .4.1.

Страницы