Дифференциальные уравнения. Ребро И.В - 31 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВПИ ВолгГТУ | Волжский

Составители: 

Рубрика: 

30
Пример. Решить уравнение xyy
=
′
−
′′′
4 .
Решим соответствующее однородное уравнение:
.04
=
′
−
′
′
′
yy
;2;2;0;0)4(;04
321
23
−====−=− kkkkkkk .
2
3
2
21
xx
eCeCCy
−
++=
Теперь найдем частное решение исходного неоднородного уравнения.
Сопоставим правую часть уравнения с видом правой части уравнения, рас-
смотренного выше:
.0;)(
=
α= xxP Частное решение ищем в виде: )(xQexy
xr α
= ,
где
.)(;0;1 BAxxQr +==α= То есть .
2
BxAxy += Теперь определим неизвест-
ные коэффициенты А и В.
Подставим частное решение в общем виде в исходное неоднородное диффе-
ренциальное уравнение.
;0;2;2
=
′
′
′
=
′
′
+=
′
yAyBAxy
.0;
8
1
;18;480 =−==−=−− BAAxBAx
Итого, частное решение: .
8
2
x
y −=
Тогда общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения:
.
8
2
3
2
21
2
xx
eCeCC
x
y
−
+++−=
Пример. Решить уравнение
).2sin( xxyy
−
=
+
′′
Правую часть дифференциального уравнения представим в виде суммы двух
функций f
1
(x) + f
2
(x) = x + (-sin(2x)).
Составим и решим характеристическое уравнение:
ikk ±==+
2,1
2
;01 .
1.
Для функции f
1
(x) решение ищем в виде )(
1
xQexy
xr α
= .
Получаем:
BAxxQr
+
=== )(,0,0
α
. То есть BAxy
+
=
1
.
0;1;;0;
11
===+=
″
=
′
BAxBAxyAy
. Итого: xy
=
1
.
2.
Для функции f
2
(x) решение ищем в виде: )sin)(cos)((
212
xxQxxQexy
xr
β+β=
α
.
Анализируя функцию f
2
(x), получаем:
0;2;0;1)(;0)(
21
=
==−== rxPxP
β
α
.
Таким образом,
);2sin()2cos(
2
xDxCy +=
);2cos(2)2sin(2
2
xDxCy +−=
′
)2sin(4)2cos(4
2
xDxCy −−=
″
. Подставляем и упрощаем:
);2sin()2sin()2cos()2sin(4)2cos(4 xxDxCxDxC
−
=
+
+
−−
Пример. Решить уравнение y ′′′ − 4 y ′ = x .
Решим соответствующее однородное уравнение: y ′′′ − 4 y ′ = 0.
k 3 − 4k = 0; k (k 2 − 4) = 0; k1 = 0; k 2 = 2; k 3 = −2; y = C1 + C2 e 2 x + C3e −2 x .

Теперь найдем частное решение исходного неоднородного уравнения.
Сопоставим правую часть уравнения с видом правой части уравнения, рас-
смотренного выше: P( x) = x; α = 0. Частное решение ищем в виде: y = x r e αx Q(x) ,
где r = 1; α = 0; Q( x) = Ax + B. То есть y = Ax 2 + Bx. Теперь определим неизвест-
ные коэффициенты А и В.
Подставим частное решение в общем виде в исходное неоднородное диффе-
ренциальное уравнение. y ′ = 2 Ax + B; y ′′ = 2 A; y ′′′ = 0;
                                       1                                      x2
0 − 8 Ax − 4 B = x; − 8 A = 1;    A = − ; B = 0. Итого, частное решение: y = − .
                                       8                                      8
Тогда общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения:
                                            x2
                                      y=−      + C1 + C 2 e 2 x + C 3 e − 2 x .
                                            8
Пример. Решить уравнение y ′′ + y = x − sin(2 x).
Правую часть дифференциального уравнения представим в виде суммы двух
функций f1(x) + f2(x) = x + (-sin(2x)).
Составим и решим характеристическое уравнение: k 2 + 1 = 0;                             k1, 2 = ± i .

1. Для функции f1(x) решение ищем в виде y1 = x r e αx Q( x) .
Получаем: α = 0, r = 0,           Q( x) = Ax + B . То есть              y1 = Ax + B .
  ′             ″
y1 = A;       y1 = 0;        Ax + B = x;    A = 1; B = 0 . Итого: y1 = x .

2. Для функции f2(x) решение ищем в виде: y 2 = x r e αx (Q1 ( x) cos βx + Q2 ( x) sin βx) .
Анализируя функцию f2(x), получаем:
P1 ( x) = 0; P2 ( x) = −1; α = 0; β = 2; r = 0 .

Таким образом, y 2 = C cos(2 x) + D sin( 2 x); y 2′ = −2C sin( 2 x ) + 2 D cos( 2 x );
   ″
y 2 = −4C cos(2 x) − 4 D sin(2 x) . Подставляем и упрощаем:

− 4C cos(2 x) − 4 D sin(2 x) + C cos(2 x) + D sin(2 x) = − sin(2 x);




                                                       30

Страницы