Дифференциальные уравнения. Ребро И.В - 33 стр.

y1 = ϕ1 ( x),    y 2 = ϕ 2 ( x), ... y n = ϕ n ( x) системы дифференциальных уравнений ви-

да, определенное в некоторой окрестности точки х0 и удовлетворяющее началь-
ным условиям x0 , y10 , y20 ,..., y n 0 .
        Общим решением системы дифференциальных уравнений вида будет со-
вокупность            функций             y1 = ϕ1 ( x, C1 , C 2 ,..., C n ) ,    y 2 = ϕ 2 ( x, C1 , C 2 ,..., C n ) ,   …
y n = ϕ n ( x, C1 , C 2 ,..., C n ) , которые при подстановке в исходную систему обращают

уравнения в верные тождества.
        При рассмотрении систем дифференциальных уравнений ограничимся
случаем системы трех уравнений (n = 3).
          Нормальная система дифференциальных уравнений c постоянными ко-
  эффициентами называется линейной однородной, если они записана в виде:
                                          ⎧ dy
                                          ⎪ dx = a11 y + a12 z + a13u
                                          ⎪
                                          ⎪ dz
                                          ⎨ = a 21 y + a 22 z + a 23u .
                                          ⎪ dx
                                          ⎪ du
                                          ⎪ dx = a31 y + a32 z + a33u
                                          ⎩
      Решение системы ищется с помощью метода Эйлера, путем подстановки:
                                            dy            dz            du
y = αe kx ,     z = βe kx , u = γe kx и        = αke kx ,    = βke kx ,    = γke kx , где α , β , γ , k = const .
                                            dx            dx            dx
 Заменив и перенеся все элементы в одну сторону и сократив на ekx, получаем:
                                      ⎧(a11 − k )α + a12 β + a13 γ = 0
                                      ⎪
                                      ⎨a 21α + (a 22 − k )β + a 23 γ = 0
                                      ⎪a α + a β + ( a − k ) γ = 0
                                      ⎩ 31       32       33


      Для того, чтобы полученная система имела ненулевое решение необходи-
мо и достаточно, чтобы определитель системы был равен нулю, то есть:
                                     a11 − k           a12            a13
                                       a21          a22 − k           a23       =0
                                       a31             a32         a33 − k




                                                           32