Дифференциальные уравнения. Ребро И.В - 32 стр.

                                                     1
− 3C cos(2 x) − 3D sin(2 x) = − sin(2 x) ; A = 0; B = .
                                                     3
                       1
Итого: y 2 = sin(2 x); то есть искомое частное решение имеет вид:
                       3
              1
y = y1 + y 2 = sin(2 x) + x . Общее решение неоднородного дифференциального урав-
              3
                   1
нения: y = sin(2 x) + x + C1 cos( x) + C 2 sin( x) .
                   3


           §3. НОРМАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ОДНОРОДНЫХ
            ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ
                                            КОЭФФИЦИЕНТАМИ

                             ⎧ F1 ( x, y1 , y 2 ,..., y n , y1′ , y 2′ ,..., y n′ ) = 0
                             ⎪ F ( x, y , y ,..., y , y ′ , y ′ ,..., y ′ ) = 0
                             ⎪ 2         1     2         n    1      2          n
          Система уравнений: ⎨                                                           ,
                             ⎪......................................................
                             ⎪⎩ Fn ( x, y1 , y 2 ,..., y n , y1′ , y 2′ ,..., y ′n ) = 0

где х - независимая переменная, у1, у2,…,уn – искомые функции, называется сис-
темой дифференциальных уравнений первого порядка.
          Система дифференциальных уравнений первого порядка, разрешенных
относительно производных от неизвестных функций называется нормальной
системой дифференциальных уравнений.
                         ⎧ dy1
                         ⎪ dx = f 1 ( x, y1 , y 2 ,..., y n )
                         ⎪
                         ⎪ dy 2 = f ( x, y , y ,..., y )
                         ⎪             2        1    2         n
Такая система имеет вид: ⎨ dx                                      .
                         ⎪........................................
                         ⎪
                         ⎪ dy n = f ( x, y , y ,..., y )
                         ⎪⎩ dx         n        1    2         n



          Теорема                (Теорема   Коши):        Если          в     некоторой        области   функции
f1 ( x, y1 , y 2 ,..., y n ), f 2 ( x, y1 , y 2 ,..., y n ), … f n ( x, y1 , y 2 ,..., y n ) непрерывны и имеют непре-

рывные             частные          производные         по        y1 , y 2 ,..., y n ,   то   для   любой    точки
( x0 , y10 , y 20 ,..., yn 0 )     этой     области          существует                  единственное    решение




                                                             31