Дифференциальные уравнения. Ребро И.В - 34 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВПИ ВолгГТУ | Волжский

Составители: 

Рубрика: 

33
Это уравнение называется характеристическим уравнением и имеет
три корня k
1
, k
2
, k
3
. Каждому из этих корней соответствует ненулевое решение
системы:
,,,
111
111111
xkxkxk
euezey
γβα
===
,,,
222
222222
xkxkxk
euezey
γβα
===
.,,
333
333333
xkxkxk
euezey
γβα
===
Тогда общее решение данной системы запишется в виде:
;
3
21
332211
xk
xkxk
eCeCeCy
ααα
++=
;
3
21
332211
xk
xkxk
eCeCeCz
βββ
++=
.
3
21
332211
xk
xkxk
eCeCeCu
γγγ
++=
В случае комплексно сопряженных корней характеристического уравнения
biak ±= действительные решения имеют вид: )cos(bxe
ax
и )sin(bxe
ax
. В этом слу-
чае сразу записывают
)cos(
1
bxey
ax
= , )sin(
2
bxey
ax
= , и находят функции z
1
, z
2
, u
1
и
u
2
, выражая их через функции y
1
и y
2
и их производные.
Пример. Найти общее решение системы уравнений:
⎩
⎨
⎧
+=
′
+=
′
yxy
yxx
22
25
Составим характеристическое уравнение:
;042510;04)2)(5(;0
22
25
2
=−+−−=−−−=
−
−
kkkkk
k
k
.6;1;067
21
2
===+− kkkk
Решим систему уравнений:
⎩
⎨
⎧
=β−+α
=β+α−
0)(
0)(
2221
1211
kaa
aka
Для k
1
:
⎩
⎨
⎧
=β+α
=β+α
⎩
⎨
⎧
=β−+α
=β+α−
02
024
0)12(2
02)15(
11
11
11
11
Полагая
1
1
=α (принимается любое значение), получаем: .2
1
−
=
β
Для k
2
:
⎩
⎨
⎧
=β−α
=β+α−
⎩
⎨
⎧
=β−+α
=β+α−
042
021
0)62(2
02)65(
22
22
22
22
Полагая
2
2
=α (принимается любое значение), получаем: .1
2
=
β
       Это уравнение называется характеристическим уравнением и имеет
три корня k1, k2, k3. Каждому из этих корней соответствует ненулевое решение

системы:      y1 = α1e k1 x ,           z1 = β1e k1 x ,            u1 = γ 1e k1 x ,

             y2 = α 2 e k 2 x ,         z2 = β 2e k 2 x ,           u2 = γ 2e k 2 x ,

             y3 = α 3e k3 x ,           z3 = β 3e k3 x ,           u3 = γ 3e k 3 x .
    Тогда общее решение данной системы запишется в виде:

                                  y = C1α1e k1 x + C2α 2e k 2 x + C3α 3e k 3 x ;

                                  z = C1β1e k1 x + C2 β 2e k 2 x + C3 β 3e k 3 x ;

                                  u = C1γ 1e k1 x + C2γ 2e k 2 x + C3γ 3e k3 x .
    В случае комплексно сопряженных корней характеристического уравнения
k = a ± bi действительные решения имеют вид: e ax cos(bx) и e ax sin(bx) . В этом слу-

чае сразу записывают y1 = e ax cos(bx) , y2 = e ax sin(bx) , и находят функции z1, z2, u1 и
u2, выражая их через функции y1 и y2 и их производные.
Пример. Найти общее решение системы уравнений:
                                                 ⎧ x′ = 5x + 2 y
                                                 ⎨
                                                 ⎩ y′ = 2x + 2 y
Составим характеристическое уравнение:
             5−k      2
                         = 0;            (5 − k )(2 − k ) − 4 = 0;         10 − 5k − 2k + k 2 − 4 = 0;
              2      2−k

                                    k 2 − 7k + 6 = 0;           k1 = 1;      k 2 = 6.

                                         ⎧(a11 − k )α + a12 β = 0
Решим систему уравнений: ⎨
                                         ⎩a 21α + (a 22 − k )β = 0

         ⎧(5 − 1)α 1 + 2β1 = 0          ⎧4α 1 + 2β1 = 0
Для k1: ⎨                               ⎨
         ⎩2α 1 + (2 − 1)β1 = 0          ⎩ 2α 1 + β 1 = 0

Полагая α1 = 1 (принимается любое значение), получаем: β1 = −2.
         ⎧(5 − 6)α 2 + 2β 2 = 0           ⎧− 1α 2 + 2β 2 = 0
Для k2: ⎨                                 ⎨
         ⎩2α 2 + (2 − 6)β 2 = 0           ⎩2α 2 − 4β 2 = 0

Полагая α 2 = 2 (принимается любое значение), получаем: β 2 = 1.



                                                           33

Страницы