Дифференциальные уравнения. Ребро И.В - 36 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВПИ ВолгГТУ | Волжский

Составители: 

Рубрика: 

35
Вариант 1
Часть А
1. Найти общее решение дифферен-
циального уравнения 1-го порядка с
разделяющимися переменными:
a)
2
1' yxyy += , b)
()
)(2' xctgyy +
=
.
2. Найти общее решение однородно-
го дифференциального уравнения 1-го
порядка:
(
)
02
22
=++ xydydxyx .
3. Найти общее решение линейного
дифференциального уравнения 1-го
порядка
:
3
3' xyxy =− .
4. Найти общее решение дифферен-
циального уравнения в полных диф-
ференциалах:
0)2()(
34243
=−++ dyyyxdxxyx .
5. Найти общее решение дифферен-
циального уравнения допускающее
понижение порядка:
''2)2sin(''' yxy =
.
6. Найти решение задачи Коши:
064''
3
=+yy , 2)0(',4)0( == yy .
7. Найти общее решение однородно-
го дифференциального уравнения 3-го
порядка:
08'12''6''' =−
+
−
yyyy
.
8. Найти общее решение неоднород-
ного дифференциального уравнения
2-го порядка:
()
x
exyyy +=++ 1'2'' .
9. Решить систему дифференциаль-
ных уравнений:
⎩
⎨
⎧
+=
+=
yxy
yxx
32'
45'
.
Часть В
Решить уравнения:
1.
1x2y
3y2x
'y
++
+−
=
5.
x
yy
sin
1
'' =+
2.
(
)
0
3
=−+ dxxyxydy 6.
xeyy
x
cos10'4'' =−
3.
2
32
36
x
exxyy =−
′
7.
xyyy cos26'5''
=
+
−
, если
5,0)'0(,3)0(
=
=
yy
4.
()
xy
x
y
dx
dy
lnln1 −+=
8.
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
++=
+−=
−t
t
eyxy
eyxx
5'
235'
3
9.
xyxy
+
=
+ 1'''''
Часть С
1. Найти линию, проходящую через точку )1,15(
0
Ì и обладающую тем свой-
ством, что в любой ее точке
Ì
нормальный вектор MN с концом на оси
Оу имеет длину, равную 25, и образует острый угол с положительным на-
правлением оси Оу.
2. Решить уравнения:
а) 0хydy2dx)yx(
2
=−+
в) xeyy
x
cos2'''' +=−
с)
)cos(
''
2
2
x
yy
π
π
π
=+ , если
0)0(',3)0( == yy .
3. Решить систему, записанную в
векторной форме:
Axx =' , где x –
вектор,
A – данная матрица,
A=
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−−
−
−−
213
101
112
. 
Вариант 1
                                                      Часть А
1. Найти общее решение дифферен- 5. Найти общее решение дифферен-
циального уравнения 1-го порядка с                        циального уравнения допускающее
разделяющимися переменными:                               понижение порядка:
 a) xyy ' = 1 + y , b) y ' = ( y + 2) ctg ( x) .
                  2
                                                                              y ' ' ' sin(2 x) = 2 y ' ' .
 2. Найти общее решение однородно- 6. Найти решение задачи Коши:
го дифференциального уравнения 1-го                             y ' ' y 3 + 64 = 0 , y (0) = 4, y ' (0) = 2 .
порядка:                                                  7. Найти общее решение однородно-
               (x + y )dx + 2 xydy = 0 .
                 2      2
                                                          го дифференциального уравнения 3-го
3. Найти общее решение линейного                          порядка:
дифференциального уравнения 1-го                                          y ' ' '−6 y ' '+12 y '−8 y = 0 .
порядка:                                                  8. Найти общее решение неоднород-
                       xy '− y = 3 x 3 .                  ного дифференциального уравнения
4. Найти общее решение дифферен- 2-го порядка:
циального уравнения в полных диф-                                           y ' '+2 y '+ y = (1 + x ) e x .
ференциалах:                                              9. Решить систему дифференциаль-
      ( x 3 y 4 + x 2 )dx + ( x 4 y 3 − 2 y )dy = 0 .     ных уравнений:
                                                          ⎧x ' = 5x + 4 y
                                                          ⎨               .
                                                          ⎩ y '= 2x + 3y
                                                Часть В
Решить уравнения:
          x − 2y + 3                                   5. y ' '+ y =
                                                                         1
1. y ' =                                                               sin x
           y + 2x + 1
2. dy + (xy − xy 3 )dx = 0                             6. y ' '−4 y ' = 10 e x cos x
3. y ′ − 6 xy = 3x 2 e 3 x
                           2
                                                       7. y ' '−5 y '+6 y = 2 cos x , если
                                                          y (0) = 3, y (0)' = 0,5
4.   dy y
       = (1 + ln y − ln x )                                ⎧ x ' = 5 x − 3 y + 2e   3t
                                                                                         9. xy ' ' '+ y ' ' = 1 + x
     dx x                                              8. ⎪⎨
                                                             ⎪⎩ y ' = x + y + 5e
                                                                               −t


                                 Часть С
1. Найти линию, проходящую через точку Ì 0 (15,1) и обладающую тем свой-
ством, что в любой ее точке Ì нормальный вектор MN с концом на оси
Оу имеет длину, равную 25, и образует острый угол с положительным на-
правлением оси Оу.
2. Решить уравнения:                  3. Решить систему, записанную в
а) ( x + y 2 )dx − 2хydy = 0          векторной форме: x ' = Ax , где x –
в) y ' ' '− y ' = 2e x + cos x        вектор, A – данная матрица,
                                                                                 ⎛2 −1 −1⎞
                 π2                                                              ⎜         ⎟
с) y ' '+π y =
           2
                       , если                                                 A= ⎜ 1 0 − 1 ⎟ .
               cos(πx)
                                                                                 ⎜ 3 −1 − 2⎟
y (0) = 3, y ' (0) = 0 .                                                         ⎝         ⎠




                                                     35

Страницы