Дифференциальные уравнения. Ребро И.В - 37 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВПИ ВолгГТУ | Волжский

Составители: 

Рубрика: 

36
Вариант 2
Часть А
1. Найти общее решение дифференци-
ального уравнения 1-го порядка с раз-
деляющимися переменными:
a)
()
xyxyyx =+++
22
1'1
,
b)
()
dyxdxxy sincos12 =+ .
2. Найти общее решение однородного
дифференциального уравнения 1-го по-
рядка:
xy
xeyxy
/
' += .
3. Найти общее решение линейного
дифференциального уравнения 1-го по-
рядка
:
2
xyyxy −=+
′
.
4. Найти общее решение дифференци-
ального уравнения в полных диффе-
ренциалах:
0)()2(
42332
=+−− dyyyxdxyxx .
5. Найти общее решение диффе-
ренциального уравнения допускаю-
щее понижение порядка:
'')ln(''' yxxy =
.
6. Найти решение задачи Коши:
3
128'' yy = , 8)0(',1)0( == yy .
7. Найти общее решение однород-
ного дифференциального уравнения
3-го порядка:
0'2''3''' =+
+
yyy
.
8. Найти общее решение неодно-
родного дифференциального урав-
нения 2-го порядка:
xxyy 36'3''
2
+=− .
9. Решить систему дифференци-
альных уравнений:
⎩
⎨
⎧
+=
+=
yxy
yxx
4'
82'
.
Часть В
Решить уравнения:
1.
y
ey
2
5'= , если 0,0
00
=
=
yx
5.
15'2''
2
+=+− xyyy
, если
5,0)'0(,3)0(
−
=
−
=
yy
2.
0)()(
2323
=⋅+−⋅− dyxyydxyxx
6.
(
)
2
'1''' yyxy +=
3. ,03'
2
=⋅+⋅
− yx
exy если 1)0( =y
7.
xxyy 2sin'2''
−
=
−
4.
()( )
014217'534 =+−+−− yxyxx
8.
⎩
⎨
⎧
−=
+
−
=
yxy
tyxx
5'
8'
9.
x
e
yy
+
=−
1
1
'''
Часть С
1. Найти линию, проходящую через точку
)2,12(
0
Ì
и обладающую тем свой-
ством, что в любой ее точке
Ì
нормальный вектор
MN
с концом на оси
Оу имеет длину, равную 20, и образует острый угол с положительным на-
правлением оси Оу.
2. Решить уравнения:
а) 0)()1(
22
=⋅−+⋅− dyxyxdxyx
в)
xxeyy
x
sin2cos62'' +−=+
с)
x
x
e
e
yy
3
3
1
9
'3''
+
=+
, если
)2ln1(3)0(',4ln)0(
−
== yy
3. Решить систему, записанную в
векторной форме:
Axx =' , где x –
вектор,
A – данная матрица,
A=
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−−
−
−−
112
101
213
. 
Вариант 2
                                            Часть А
1. Найти общее решение дифференци- 5. Найти общее решение диффе-
ального уравнения 1-го порядка с раз-            ренциального уравнения допускаю-
деляющимися переменными:                         щее понижение порядка:
 a) (1 + x 2 )y '+ y 1 + x 2 = xy ,                                 y ' ' ' x ln( x) = y ' ' .
 b) (2 y + 1)cos x dx = sin x dy .               6. Найти решение задачи Коши:
 2. Найти общее решение однородного                     y ' ' = 128 y 3 , y (0) = 1, y ' (0) = 8 .
дифференциального уравнения 1-го по- 7. Найти общее решение однород-
рядка:                                           ного дифференциального уравнения
                    xy ' = y + xe y / x .        3-го порядка:
                                                                  y ' ' '+3 y ' '+2 y ' = 0 .
3. Найти общее решение линейного
дифференциального уравнения 1-го по- 8. Найти общее решение неодно-
рядка:                                           родного дифференциального урав-
                                                 нения 2-го порядка:
                    y′x + y = − xy 2 .                            y ' '−3 y ' = 6 x 2 + 3x .
4. Найти общее решение дифференци- 9. Решить систему дифференци-
ального уравнения в полных диффе-                альных уравнений:
ренциалах:                                                           ⎧x ' = 2x + 8 y
     (2 x − x y )dx − ( x y + y )dy = 0 .
                 2 3            3 2       4                          ⎨                   .
                                                                         y '= x + 4 y
                                                                             ⎩
                                                    Часть В
Решить уравнения:
1. y ' = 5e 2 y , если x0 = 0, y0 = 0                       5. y ' '−2 y '+5 y = x + 1 , если
                                                                                  2

                                                            y (0) = −3, y (0)' = −0,5
2. ( x 3 − x 2 y ) ⋅ dx − ( y 3 + xy 2 ) ⋅ dy = 0           6. xy ' y ' ' = 1 + ( y ')
                                                                                       2


           2                                                7. y ' '−2 y ' = x − sin 2 x
3. y '⋅3x + x ⋅ e − y = 0, если y (0) = 1
4. (4 x − 3x − 5) y '+(7 x − 21y + 14) = 0                  ⎧ x ' = x − y + 8t                            1
                                                         8. ⎨                        9. y ' '− y ' =
                                                            ⎩ y ' = 5x − y                             1 + ex
                                                    Часть С
1. Найти линию, проходящую через точку Ì 0 (12,2) и обладающую тем свой-
ством, что в любой ее точке Ì нормальный вектор MN с концом на оси
Оу имеет длину, равную 20, и образует острый угол с положительным на-
правлением оси Оу.
2. Решить уравнения:                     3. Решить систему, записанную в
           2
а) (1 − x y ) ⋅ dx + x ( y − x) ⋅ dy = 0
                        2                векторной форме: x ' = Ax , где x –
в) y ' '+ y = 2e x − 6 cos x + 2 sin x   вектор, A – данная матрица,
                                                                             ⎛ 3 −1 − 2⎞
                  9e 3 x                                                     ⎜         ⎟
с) y ' '+3 y ' =         , если                                           A= ⎜ 1 0 − 1 ⎟ .
                 1 + e3x                                                     ⎜2 −1 −1⎟
y (0) = ln 4, y ' (0) = 3(1 − ln 2)                                          ⎝         ⎠




                                                       36

Страницы