Дифференциальные уравнения. Ребро И.В - 39 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВПИ ВолгГТУ | Волжский

Составители: 

Рубрика: 

38
Вариант 4
Часть А
1. a)Найти общее решение дифферен-
циального уравнения
1-го порядка с разделяющимися пере-
менными:
dxdydyx =+
2
;
b) Найти решение задачи Ко-
ши:
xyy ln2' = 1,
00
=
=
yex .
2. Найти общее решение однородного
дифференциального уравнения 1-го
порядка:
0'
3
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
x
y
y
.
3. Найти решение задачи Коши ли-
нейного дифференциального уравне-
ния 1-го порядка
:
012'
2
=−+ xyyx , 1,1
00
== yx .
4. Найти общее решение дифферен-
циального уравнения в полных диффе-
ренциалах:
0)2( =−+ dyyxedxe
yy
.
5. Найти общее решение дифференци-
ального уравнения допускающее по-
нижение порядка:
(
)
0'''5 =
−
+
yyx .
6. Найти решение задачи Коши:
3
98'' yy = ,
7)1(',1)1( == yy
.
7. Найти общее решение однородного
дифференциального уравнения 4-го по-
рядка:
0'''2
)4(
=+− yyy .
8. Найти общее решение неоднородно-
го дифференциального уравнения 2-го
порядка:
()
t
etyyy
2
18'6'' +=+− .
9. Решить систему дифференциаль-
ных уравнений:
⎩
⎨
⎧
+=
−=
yxy
xyx
'
8'
.
Часть В
Решить уравнения:
1.
()( )
021 =+−+−− dyxydxyx
5.
(
)
0''4'''
=
−
+
yxy
2. 0))ln()(ln(2 =⋅−
⋅
−⋅ dy
x
dx
x
yy
6.
1
'2''
2
+
=+−
x
e
yyy
x
3. 0)( =−+ dydxexy
x
7.
011'
22
=−+− yxyy
4. )2sin(10'2'' xyyy −=++ ,
4
3
)0(',0)0( ==
yy
8.
⎩
⎨
⎧
−=
+−=
yxy
tyxx
5'
8'
9.
xeyy
x
3sin39''
3
+=+
Часть С
1. Найти линию, проходящую через точку )4,6(
0
Ì и обладающую тем свойст-
вом, что в любой ее точке
Ì
нормальный вектор MN с концом на оси Оу
имеет длину, равную 10, и образует острый угол с положительным направле-
нием оси Оу.
2. Решить уравнения:
а)
0)()2(
22
=⋅+++⋅− dyyxydxyxy
в)
x
exxyy 4cos6sin10'''' ++=−
с)
x
e
yyy
2
1
4
8'6''
−
+
=+−
, если
2ln6)0(',2ln21)0( =+= yy
3. Решить систему, записанную в
векторной форме:
Axx =' , где x – век-
тор, A – данная матрица,
A=
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−−
−
−−
213
101
112
. 
Вариант 4
                                               Часть А
1. a)Найти общее решение дифферен- 5. Найти общее решение дифференци-
циального уравнения                                ального уравнения допускающее по-
1-го порядка с разделяющимися пере- нижение порядка:
менными: x 2 dy + dy = dx ;                                               (5 + x ) y ' '− y ' = 0 .
   b) Найти решение задачи Ко-                     6. Найти решение задачи Коши:
                                                                 y ' ' = 98 y 3 , y (1) = 1, y ' (1) = 7 .
ши: y ' = 2 y ln x x0 = e, y0 = 1 .
                                                   7. Найти общее решение однородного
 2. Найти общее решение однородного
                                                   дифференциального уравнения 4-го по-
дифференциального уравнения 1-го
                       3                           рядка:
                  ⎛ ⎞
                    y                                                      y ( 4 ) − 2 y ' '+ y ' = 0 .
порядка: y '+ ⎜ ⎟ = 0 .
                  ⎝x⎠                              8. Найти общее решение неоднородно-
3. Найти решение задачи Коши ли-                   го дифференциального уравнения 2-го
нейного дифференциального уравне-                  порядка:
ния 1-го порядка:                                                        y ' '−6 y '+8 y = (1 + t )e 2t .
       x 2 y '+2 xy − 1 = 0 , x0 = 1, y0 = 1 .     9. Решить систему дифференциаль-
4. Найти общее решение дифферен-                   ных уравнений:
циального уравнения в полных диффе-                                            ⎧x ' = 8 y − x
                                                                               ⎨                   .
ренциалах:                                                                     ⎩y '= x + y
e y dx + ( xe y − 2 y )dy = 0 .
                                               Часть В
Решить уравнения:
1. ( x − y − 1)dx + ( y − x + 2 )dy = 0           5. y ' ' ' (x + 4) − y ' ' = 0
2. 2 y ⋅ (ln( y ) − ln( x )) ⋅ dx − x ⋅ dy = 0                                ex
                                                  6. y ' '−2 y '+ y = 2
                                                                           x +1
3. ( xy + e )dx − dy = 0
             x
                                                     7. yy ' 1 − x + 1 − y 2 = 0
                                                                      2

4. y ' '+2 y '+10 y = − sin(2 x) ,                      ⎧ x ' = x − y + 8t 9. y ' '+9 y = 3e 3 x + sin 3 x
                                                     8. ⎨
y (0) = 0, y ' (0) =
                       3                                 ⎩ y ' = 5x − y
                       4
                                            Часть С
1. Найти линию, проходящую через точку Ì 0 (6,4) и обладающую тем свойст-
вом, что в любой ее точке Ì нормальный вектор MN с концом на оси Оу
имеет длину, равную 10, и образует острый угол с положительным направле-
нием оси Оу.
2. Решить уравнения:                           3. Решить систему, записанную в
                            2
а) (2 xy − y) ⋅ dx + ( y + x + y) ⋅ dy = 0
           2                                   векторной форме: x ' = Ax , где x – век-
в) y ' ' '− y ' = 10 sin x + 6 cos x + 4e x    тор, A – данная матрица,
                          4                                                  ⎛2 −1 −1⎞
с) y ' '−6 y '+8 y =            , если                                       ⎜         ⎟
                     1 + e −2 x                                           A= ⎜ 1 0 − 1 ⎟ .
y (0) = 1 + 2 ln 2, y ' (0) = 6 ln 2                                         ⎜ 3 −1 − 2⎟
                                                                             ⎝         ⎠




                                                    38

Страницы