Дифференциальные уравнения. Ребро И.В - 5 стр.

     §1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ


             1. 1. Основные понятия дифференциальных уравнений
        Соотношение вида F ( x; y; y ′;...; y ( n ) ) = 0 , связывающее независимую пере-
менную х, неизвестную функцию y и ее производные, называется дифферен-
циальным уравнением.
        Наивысший порядок производных, входящих в уравнение, называется
порядком дифференциального уравнения.
        Интегралом (или решением) дифференциального уравнения называется
всякая функция, обращающая уравнение в функциональное тождество при под-
становке в него этой функции и ее производных взамен неизвестной функции и
ее производных.
        Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение
вида F ( x, y, y ′) = 0 , или уравнение вида y′ = f ( x, y ) , разрешенное относительно
производной, связывающее функцию, ее первую производную и независимую
переменную.
        В простейшем случае дифференциальное уравнение имеет вид y ′ = f ( x, y ) .
Решение      этого   дифференциального          уравнения   определяется     формулой:
y = ∫ f ( x)dx + C , где С – произвольная постоянная.

     Начальным условием дифференциального уравнения первого порядка на-
зывают пару соответствующих друг другу значений независимой переменной
(х0) и функции (у0). Записывается в виде: у0=у(х0).
     Функция y = ϕ(x, C), где С – произвольная постоянная, называется общим
решением дифференциального уравнения y′ = f ( x, y ) , если: она является ре-
шением дифференциального уравнения при любом значении произвольной по-
стоянной С;       существует такое единственное значение С=С0, что функция
y′ = f ( x, C0 ) удовлетворяет начальному условию у0=у(х0),каково бы оно ни
было.

                                            4