Дифференциальные уравнения. Ребро И.В - 7 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВПИ ВолгГТУ | Волжский

Составители: 

Рубрика: 

6
Геометрическое место точек с одинаковым направлением поля
(
constCy ==
′
) называется изоклиной дифференциального уравнения (линией
равных наклонов). В всех точках одной изоклины, соответствующей одному С,
касательные к интегральным кривым имеют одинаковое направление.
Геометрический метод решения дифференциальных уравнений состоит в
том, чтобы найти линии, удовлетворяющие тому условию, что касательные к
ним имеют направления, совпадающие с направлением поля в точках касания.
Пример.
Дано дифференциальное уравнение
2
xy =
′
.Построить поле на-
правлений. Методом изоклин построить приближенно графики интегральных
кривых. Сравнить их с точными интегральными кривыми.
Имеем 0);(,);(
2
=
′
= yxfxyxf
y
. При х=0 и любом );(
+
∞
−
∞
∈
y имеем 0=
′
y , то есть
во всех точках оси Оу поле горизонтально. При х=1 и любом );( +∞−∞∈y имеем
1=
′
y , то есть поле образует угол 45
0
с осью Ох. Так как данная функция
2
);( xyxf = , то поле симметрично относительно оси Оу, и через каждую точку
проходит единственная интегральная кривая, различные интегральные кривые
не пересекаются, то получается рисунок 1.
Поле направлений Интегральные кривые
Рис. 1
Точные интегральные кривые имеют вид:
C
x
y +=
3
3
. 
     Геометрическое         место     точек     с    одинаковым        направлением       поля
( y′ = C = const ) называется изоклиной дифференциального уравнения (линией
равных наклонов). В всех точках одной изоклины, соответствующей одному С,
касательные к интегральным кривым имеют одинаковое направление.
     Геометрический метод решения дифференциальных уравнений состоит в
том, чтобы найти линии, удовлетворяющие тому условию, что касательные к
ним имеют направления, совпадающие с направлением поля в точках касания.
     Пример. Дано дифференциальное уравнение y ′ = x 2 .Построить поле на-
правлений. Методом изоклин построить приближенно графики интегральных
кривых. Сравнить их с точными интегральными кривыми.
Имеем f ( x; y ) = x 2 , f y′ ( x; y ) = 0 . При х=0 и любом y ∈ (−∞;+∞) имеем y ′ = 0 , то есть

во всех точках оси Оу поле горизонтально. При х=1 и любом y ∈ (−∞;+∞) имеем
                                               0
y ′ = 1 , то есть поле образует угол 45 с осью Ох. Так как данная функция

f ( x; y ) = x 2 , то поле симметрично относительно оси Оу, и через каждую точку

проходит единственная интегральная кривая, различные интегральные кривые
не пересекаются, то получается рисунок 1.
                     Поле направлений                Интегральные кривые




                                            Рис. 1
                                                             x3
     Точные интегральные кривые имеют вид: y =                  +C .
                                                             3

                                               6

Страницы