Дифференциальные уравнения. Ребро И.В - 9 стр.

                                     ydy                                      ydy
Разделяем переменные: dx =                      . Интегрируем: ∫ dx = ∫               .
                                     1− y   2
                                                                              1− y2

Получаем: x = − 1 − y 2 + C или ( x − C ) 2 + y 2 = 1 .
В полученном выражении содержатся не все решения данного уравнения. При
делении на 1 − y 2 потеряны решения y = ±1 - это особые решения, которые не-
возможно включить в решение. Множество интегральных кривых данного
уравнения состоит из семейства окружностей радиусом 1 с центром в точке
(С; 0) и прямых y = ±1 .
                                                               у
                                                      1


                                                               0          х
                                                      -1                                          Рис. 2
                                1.4. Однородные уравнения
     Однородной функцией f(x, y) нулевого измерения, или, просто, однородной

функцией, называется функция только от отношения f ( x, y ) = ϕ ⎛⎜ ⎞⎟ . Однород-
                                                                  y
                                                                                          ⎝ x⎠

ным дифференциальным уравнением называется уравнение вида: y ′ = f ⎛⎜ ⎞⎟ .
                                                                     y
                                                                                                 ⎝ x⎠

     При решении однородных дифференциальных уравнений сохраняя преж-
нюю независимую переменную х, вводят вспомогательную неизвестную функ-

цию t по формуле: y = t ⋅ x . Откуда y ′ = t + xt ′ . Преобразуя уравнение y ′ = f ⎛⎜ ⎞⎟ ,
                                                                                     y
                                                                                                    ⎝ x⎠
                dt
получаем: x        = f (t ) − t . Найдя отсюда выражение для t как функции от x воз-
                dx
вращаются к переменной y = t ⋅ x , получая при этом решение однородного диф-
ференциального уравнения.
     Замечание: Иногда целесообразно вместо постановки y = t ⋅ x использо-
вать подстановку x = t ⋅ y .

Пример. Решить уравнение y ′ = ⎛⎜ ln + 1⎞⎟ .
                              y     y
                                        x⎝        x        ⎠



                                                       8