Дифференциальные уравнения. Ребро И.В - 10 стр.

                               y
Делаем замену:          t=       ;    y = tx;    y ′ = t ′x + t .
                               x

Подставляем в исходное уравнение: t ′x + t = t (ln t + 1); t ′x + t = t ln t + t ; t ′x = t ln t.
                                          dt    dx
Разделяем переменные:                         =    .
                                        t ln t x
                      dt             dx
Интегрируя:        ∫ t ln t = ∫       x
                                        , получаем: ln ln t = ln x + C; ln t = Cx; t = e Cx .

Переходя от вспомогательной функции обратно к функции у, получаем общее
решение: y = xe Cx .
                       1.5. Уравнения, приводящиеся к однородным

        Дифференциальное уравнение вида: y′ = f ⎛⎜ ax + by + c ⎞⎟ приводится к од-
                                                 ⎜              ⎟
                                                                                    ⎝ a1x + b1 y + c1 ⎠

нородному дифференциальному уравнению или к дифференциальному уравне-
нию с разделяющимися переменными.
1 случай. Уравнение, приводящиеся к однородному дифференциальному урав-
              нению.
Если определитель                a b
                                       ≠ 0,     то совершается замена: x = u + α и y = v + β , где α и
                                 a1 b1


β - решения системы уравнений                            ⎧ax + by + c = 0 .      Подставляя замену, получим од-
                                                         ⎨
                                                         ⎩a1 x + b1 y + c1 = 0

                                                                                       ⎛    v ⎞
нородное дифференциальное уравнение вида:                                        dv    ⎜ a+b ⎟.
                                                                                            u
                                                                                    = f⎜       ⎟
                                                                                 du    ⎜a +b v ⎟
                                                                                       ⎜ 1 1 ⎟
                                                                                       ⎝     u⎠

Пример. Решить уравнение ( x − 2 y + 3)dy + (2 x + y − 1)dx = 0.
                               dy                           dy − 2 x − y + 1
Получаем      ( x − 2 y + 3)      = −2 x − y + 1;              =             .
                               dx                           dx   x − 2y + 3

                                                         − 2 −1
Находим значение определителя                                   = 4 +1 = 5 ≠ 0.
                                                          1 −2

                                                ⎧− 2 x − y + 1 = 0 ⎧ y = 1 − 2 x           ⎧ x = −1 / 5
Решаем систему уравнений ⎨                                        ; ⎨                    ; ⎨           .
                                                ⎩ x − 2 y + 3 = 0   ⎩ x − 2 + 4 x + 3 = 0  ⎩ y = 7 / 5

Применяем подстановку x = u − 1 / 5, y = v + 7 / 5 в исходное уравнение:
(u − 1 / 5 − 2v − 14 / 5 + 3)dv + (2u − 2 / 5 + v + 7 / 5 − 1)du = 0;


                                                                    9