Дифференциальные уравнения. Ребро И.В - 12 стр.

                                                                  dy t ′
Применяем подстановку 3x + 3 y = t , тогда                          = −1 .
                                                                  dx 3
Подставляем это выражение в исходное уравнение:
                t′        3(t − 1)
                   −1 = −          ; 2t (t ′ − 3) = −9t + 9; 2tt ′ = 6t − 9t + 9; 2tt ′ = −3t + 9 .
                3            2t
                                       2t                      t        3
Разделяем переменные:                        dt = dx;             dt = − dx;
                                    − 3t + 9                 t −3       2

                            ⎛       3 ⎞          3                                 3
                           ∫ ⎜⎝1 + t − 3 ⎟⎠dt = − 2 ∫ dx;        t + 3 ln t − 3 = − x + C1 .
                                                                                   2

Далее возвращаемся к первоначальной функции у и переменной х.
2 x + 2 y + 2 ln 3( x + y − 1) = − x + C 2 ; 3 x + 2 y + 2 ln 3 + 2 ln x + y − 1 = C 2 ;
3 x + 2 y + 2 ln x + y − 1 = C – получили общий интеграл исходного дифференциально-

го уравнения.
           1.6. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения
        Дифференциальное уравнение называется линейным относительно неиз-
вестной функции и ее производной, если оно может быть записано в виде:
y ′ + P ( x ) y = Q ( x ) . При этом, если правая часть Q(x) равна нулю, то такое урав-
нение называется линейным однородным дифференциальным уравнением, ес-
ли правая часть Q(x) не равна нулю, то такое уравнение называется линейным
неоднородным дифференциальным уравнением (P(x) и Q(x) – функции, непре-
рывные на некотором промежутке a < x < b).
        Метод Бернулли. Суть метода заключается в том, что искомая функция
представляется в виде произведения двух функций y = uv , где u=u(x) и v=v(x)
– неизвестные функции от х. Отсюда, y ′ = u ⋅ v′ + v ⋅ u ′ .
Подставляя у и y′ в исходное уравнение, получаем:
                      dv    du                    dv ⎛ du         ⎞
                  u      + v + P( x)uv = Q( x) ⇒ u + v⎜ + P ( x)u ⎟ = Q ( x) .
                      dx    dx                    dx ⎝ dx         ⎠
                                                                           du
В качестве u берут частное решение уравнения:                                 + P( x)u = 0 . Решая это диф-
                                                                           dx
ференциальное уравнение, определяем u:


                                                            11