Составители:
Рубрика:
12
∫∫ ∫
−=−=−= ;)(ln;)(;)( dxxPudxxP
u
du
dxxP
u
du
∫
==−=+
∫
−
1
)(
1
/1;;)(lnln CCCeudxxPuC
dxxP
.
Для нахождения второй неизвестной функции
v подставим полученное выра-
жение для функции
u в исходное уравнение )()( xQuxP
dx
du
v
dx
dv
u =
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
++
с учетом
того, что выражение, стоящее в скобках, равно нулю.
dxexQCdvxQ
dx
dv
Сe
dxxPdxxP
∫∫
==
− )()(
)();(
.
Интегрируя, получаем функцию
v:
2
)(
)(
1
CdxexQ
C
v
dxxP
+=
∫
∫
.
Подставляя полученные значения
u и v в y=uv, получаем:
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
∫
⋅
∫
=
∫
−
2
)()(
)(
1
CdxexQ
C
Cey
dxxPdxxP
.
Окончательно получаем формулу:
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+⋅=
∫
∫∫
−
2
)()(
)( CdxexQey
dxxPdxxP
.
Это уравнение является решением неоднородного линейного дифференциаль-
ного уравнения в общем виде по способу Бернулли.
Метод Лагранжа. Метод Лагранжа решения неоднородных линейных диффе-
ренциальных уравнений еще называют методом
вариации произвольной по-
стоянной
.
Первый шаг: приравниваем правую часть дифференциального уравнения
)()( xQyxPy =+
′
к нулю:
0)(
=
+
′
yxPy
.
Находится решение получившегося однородного дифференциального уравне-
ния:
∫
=
− dxxP
eCy
)(
1
.
Второй шаг: находим решение неоднородного дифференциального уравнения.
Для этого считаем постоянную С
1
некоторой функцией от х. Тогда по правилам
дифференцирования произведения функций получаем:
du du
u
= − P ( x)dx; ∫ u
= − ∫ P ( x)dx; ln u = − ∫ P ( x) dx;
∫
− P ( x ) dx
ln C1 + ln u = − P( x)dx;
∫ u = Ce ; C = 1 / C1 .
Для нахождения второй неизвестной функции v подставим полученное выра-
dv ⎛ du ⎞
жение для функции u в исходное уравнение u + v⎜ + P( x)u ⎟ = Q( x) с учетом
dx ⎝ dx ⎠
того, что выражение, стоящее в скобках, равно нулю.
Сe ∫
− P ( x ) dx dv
= Q( x); Cdv = Q( x)e ∫
P ( x ) dx
dx .
dx
Q ( x )e ∫
1
∫
P ( x ) dx
Интегрируя, получаем функцию v: v = dx + C2 .
C
Подставляя полученные значения u и v в y=uv, получаем:
− P ( x ) dx 1 ⎛
y = Ce ∫ ⋅ ⎜ ∫ Q ( x )e ∫ dx + C 2 ⎞⎟ .
P ( x ) dx
C⎝ ⎠
∫ ⎛ ⎞
⋅ ⎜⎜ Q( x)e ∫
− P ( x ) dx
∫
P ( x ) dx
Окончательно получаем формулу: y = e dx + C2 ⎟⎟ .
⎝ ⎠
Это уравнение является решением неоднородного линейного дифференциаль-
ного уравнения в общем виде по способу Бернулли.
Метод Лагранжа. Метод Лагранжа решения неоднородных линейных диффе-
ренциальных уравнений еще называют методом вариации произвольной по-
стоянной.
Первый шаг: приравниваем правую часть дифференциального уравнения
y ′ + P ( x ) y = Q ( x ) к нулю: y ′ + P( x) y = 0 .
Находится решение получившегося однородного дифференциального уравне-
y = C1e ∫
− P ( x ) dx
ния: .
Второй шаг: находим решение неоднородного дифференциального уравнения.
Для этого считаем постоянную С1 некоторой функцией от х. Тогда по правилам
дифференцирования произведения функций получаем:
12
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 11
- 12
- 13
- 14
- 15
- …
- следующая ›
- последняя »
