Дифференциальные уравнения. Ребро И.В - 13 стр.

                        du                          du
                        u
                           = − P ( x)dx;        ∫   u
                                                       = − ∫ P ( x)dx; ln u = − ∫ P ( x) dx;


                                                                            ∫
                                                                           − P ( x ) dx
                   ln C1 + ln u = − P( x)dx;
                                            ∫                   u = Ce                    ; C = 1 / C1 .

Для нахождения второй неизвестной функции v подставим полученное выра-
                                                                            dv ⎛ du          ⎞
жение для функции u в исходное уравнение u                                    + v⎜  + P( x)u ⎟ = Q( x) с учетом
                                                                            dx ⎝ dx          ⎠

того, что выражение, стоящее в скобках, равно нулю.

                        Сe    ∫
                             − P ( x ) dx   dv
                                               = Q( x);           Cdv = Q( x)e ∫
                                                                                          P ( x ) dx
                                                                                                       dx .
                                            dx

                                                              Q ( x )e ∫
                                                            1
                                                                  ∫
                                                                         P ( x ) dx
Интегрируя, получаем функцию v: v =                                                 dx + C2 .
                                                            C
Подставляя полученные значения u и v в y=uv, получаем:
                                     − P ( x ) dx 1 ⎛
                               y = Ce ∫          ⋅ ⎜ ∫ Q ( x )e ∫            dx + C 2 ⎞⎟ .
                                                                  P ( x ) dx

                                                  C⎝                                   ⎠

                                                              ∫               ⎛                              ⎞
                                                                           ⋅ ⎜⎜ Q( x)e ∫
                                                            − P ( x ) dx
                                                                                ∫
                                                                                         P ( x ) dx
Окончательно получаем формулу: y = e                                                                dx + C2 ⎟⎟ .
                                                                              ⎝                              ⎠
Это уравнение является решением неоднородного линейного дифференциаль-
ного уравнения в общем виде по способу Бернулли.
Метод Лагранжа. Метод Лагранжа решения неоднородных линейных диффе-
ренциальных уравнений еще называют методом вариации произвольной по-
стоянной.
Первый шаг: приравниваем правую часть дифференциального уравнения
y ′ + P ( x ) y = Q ( x ) к нулю: y ′ + P( x) y = 0 .

Находится решение получившегося однородного дифференциального уравне-

          y = C1e ∫
                 − P ( x ) dx
ния:                          .
Второй шаг: находим решение неоднородного дифференциального уравнения.
Для этого считаем постоянную С1 некоторой функцией от х. Тогда по правилам
дифференцирования произведения функций получаем:


                                                           12