Дифференциальные уравнения. Ребро И.В - 11 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВПИ ВолгГТУ | Волжский

Составители: 

Рубрика: 

10
;0)2()2( =++− duvudvvu
.
1
/
2
/2
2
2
−
+
=
−
+
=
uv
uv
uv
vu
du
dv
Получили однородное уравнение и осуществляем замену переменных
;;; tutvutvt
u
v
+
′
=
′
== при подстановке в выражение имеем:
12
2
−
+
=+
′
t
t
tut .
Разделяем переменные:
;
12
)1(2
12
22
12
2
22
−
−+
=
−
+−+
=−
−
+
=
t
tt
t
ttt
t
t
t
u
du
dt
∫∫
−
+
−
−=
−+
−
⋅−= ;
1
)21(
2
1
;
1
21
2
1
22
tt
dtt
u
du
dt
tt
t
u
du
1
2
lnln1ln
2
1
Cutt +=−+− ;
uCtt
1
2
ln21ln −=−+ ;
2
2
2
2
2
2
u
C
tt1;
u
C
lntt1ln
=−+=−+ .
Вернемся к первоначальной функции у и переменной х.
;
)15(
25
15
75
15
75
1
2
2
2
+
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
−
−
+
−
+
x
C
x
y
x
y
2
22
25)75()15)(75()15( Cyxyx =−−+−++ ;
2
22
2549702573552511025 Cyyxyxyxx =−+−−−++++ ;
7149252575252525
2
22
+−+=−++− Cyyxyxx ;
C
25
55
Cy3yxyxx
2
22
=+=−++−
.
Получаем выражение Cyyxyxx =−++−
22
3 , которое является общим интегра-
лом исходного дифференциального уравнения.
2 случай. Уравнение, приводящиеся к дифференциальному уравнению с разде-
ляющимися переменными.
Если определитель
,0
11
=
ba
ba
то совершается замена:
tbyax
=
+
, где
)(
11
byaxybxa +=+
λ
. Отсюда,
ybat
′
+
=
′
. Подставляя замену, получим диффе-
ренциальное уравнение вида:
a
ct
ct
bft +
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
+
=
′
1
λ
.
Пример. Решить уравнение .0)133()(2
=
−
+
+
+
dxyxdyyx
Получаем .
22
133
22
133
;133)(2
yx
yx
yx
yx
dx
dy
yx
dx
dy
yx
+
−
+
−=
+
+
−
−
=+−−=+
Находим значение определителя
066
22
33
=+−=
−−
. 
                                        dv 2u + v 2 + v / u
(u − 2v)dv + (2u + v)du = 0;              =      =           .
                                        du 2v − u 2v / u − 1
Получили           однородное уравнение и осуществляем замену переменных
v                                                                              2+t
  = t ; v = ut; v ′ = t ′u + t ; при подстановке в выражение имеем: t ′u + t =        .
u                                                                              2t − 1

                                     dt    2+t         2 + t − 2t 2 + t 2(1 + t − t 2 )
Разделяем переменные:                   u=        −t =                 =                ;
                                     du    2t − 1           2t − 1         2t − 1
du   1 1 − 2t                      du   1 (1 − 2t )dt    1
u
   =− ⋅
     2 1+ t − t 2
                  dt ;         ∫   u
                                      =− ∫
                                        2 1+ t − t  2
                                                      ; − ln 1 + t − t 2 = ln u + ln C1 ;
                                                         2

                                            2          C2                 C
ln 1 + t − t 2 = −2 ln C1u ; ln 1 + t − t       = ln     2
                                                           ; 1 + t − t 2 = 22 .
                                                       u                  u
Вернемся к первоначальной функции у и переменной х.
                        2
   5y − 7 ⎛ 5y − 7 ⎞     25C 2
1+       −⎜        ⎟ =             ; (5 x + 1) 2 + (5 y − 7)(5 x + 1) − (5 y − 7) 2 = 25C 2 ;
   5x + 1 ⎝ 5x + 1 ⎠   (5 x + 1) 2



25 x 2 + 10 x + 1 + 25 xy + 5 y − 35 x − 7 − 25 y 2 + 70 y − 49 = 25C 2 ;

25 x 2 − 25 x + 25 xy + 75 y − 25 y 2 = 25C 2 + 49 − 1 + 7 ; x 2 − x + xy + 3y − y 2 = C 2 + 55 = C .
                                                                                             25

Получаем выражение x 2 − x + xy + 3 y − y 2 = C , которое является общим интегра-
лом исходного дифференциального уравнения.
2 случай. Уравнение, приводящиеся к дифференциальному уравнению с разде-
               ляющимися переменными.
                                   a b
Если определитель                        = 0,          то совершается замена:                ax + by = t , где
                                   a1 b1

a1 x + b1 y = λ ( ax + by ) . Отсюда, t ′ = a + by ′ . Подставляя замену, получим диффе-

                                                       ⎛ t +c ⎞
ренциальное уравнение вида: t ′ = bf ⎜⎜                          ⎟⎟ + a .
                                                       ⎝ λt + c1 ⎠
Пример. Решить уравнение 2( x + y )dy + (3x + 3 y − 1)dx = 0.
                        dy                             dy − 3x − 3 y + 1    3x + 3 y − 1
Получаем 2( x + y )        = −3x − 3 y + 1;               =              =−              .
                        dx                             dx   2x + 2 y         2x + 2 y

                                                  −3 −3
Находим значение определителя                           = −6 + 6 = 0 .
                                                  2  2


                                                             10

Страницы