Дифференциальные уравнения. Ребро И.В - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВПИ ВолгГТУ | Волжский

Составители: 

Рубрика: 

14
Находим ceyeuyeuyueuu
yyyy
+−−=⇒=
′
⇒=+
′
−−−
0: .
Получаем
yyyy
ceyeceyex +−−=+−−=
−−
1)( .
1.7. Уравнение Бернулли
Уравнения вида
n
yxqyxpy )()( =+
′
, где
)(),( xqxp
- функции от х, которые
предполагаются определенными и непрерывными в интервале
);( ba
; n – веще-
ственное число, отличное от 0 и 1, называются
уравнением Бернулли. Уравне-
ние Бернулли приводится к линейному уравнению делением обеих его частей
на
n
y и введение новой искомой функции z по формуле zy
n
=
−1
.
Пример. Решить уравнение yxy
x
x
y =
−
+
′
2
1
.
Делим обе части уравнения на
y :
x
x
yx
y
y
=
−
+
′
2
1
. Заменим zy = , тогда
z
y
y
′
=
′
2
. Получаем
x
x
xz
z =
−
+
′
2
1
2
– линейное уравнение. Решим методом Бер-
нулли. Заменим
vuz ⋅
=
, тогда
uvvuz
⋅
′
+
⋅
′
=
′
.
⇒=
−
⋅
⋅
+
′
+
′
x
x
vux
uvvu
2
1
)(2 x
x
vx
vuvu =
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
⋅
+
′
+
′
2
1
22
.
1)
⇒=
−
⋅
+
′
0
1
2
2
x
vx
v
⇒
−
⋅
−=
2
1
2
x
dxx
v
dv
⇒−= )1ln(
4
1
)ln(
2
xv
4
2
1 xv −=
.
2)
⇒=−⋅
′
xxu
4
2
12 ⇒
−
⋅
=
4
2
12 x
dxx
du
Cxu +−−=
4
32
)1(
3
1
.
Получаем
4
22
4
2
4
32
1)1(
3
1
1)1(
3
1
xCxyxCxz −+−−=⇒−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+−−= .
1.8. Уравнения в полных дифференциалах
Дифференциальное выражение
(
)
(
)
dyyxQdxyxP ,,
+
является полным диф-
ференциалом, если существует такая функция u(x,y), полный дифференциал ко-
торой равен данному выражению:
(
)
(
)
dyyxQdxyxPdu ,,
+
=
.
Теорема. Для того чтобы выражение
(
)
(
)
dyyxQdxyxP ,,
+
было полным
дифференциалом, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось тождество: 
Находим u : u ′e y + u 0 = y ⇒ u ′ = ye − y ⇒ u = − ye − y − e − y + c .
Получаем x = (− ye − y − e − y + c)e y = − y − 1 + ce y .
                                      1.7. Уравнение Бернулли
        Уравнения вида y ′ + p( x) y = q( x) y n , где p( x), q( x) - функции от х, которые
предполагаются определенными и непрерывными в интервале (a; b) ; n – веще-
ственное число, отличное от 0 и 1, называются уравнением Бернулли. Уравне-
ние Бернулли приводится к линейному уравнению делением обеих его частей
на y n и введение новой искомой функции z по формуле y1−n = z .
                                                   x
Пример. Решить уравнение y ′ +                         y=x y.
                                                 1− x2

                                                         y′   x y
Делим обе части уравнения на                       y:       +      = x . Заменим         y = z , тогда
                                                          y 1− x
                                                                 2



 y′                           xz
    = z ′ . Получаем 2 z ′ +       = x – линейное уравнение. Решим методом Бер-
2 y                          1− x2

нулли. Заменим z = u ⋅ v , тогда z ′ = u ′ ⋅ v + v′ ⋅ u .
                                               x ⋅u ⋅v                ⎛        x⋅v ⎞
                         2(u ′v + v′u ) +              = x ⇒ 2u ′v + u⎜ 2v′ +       ⎟ = x.
                                               1− x  2
                                                                      ⎝       1− x2 ⎠

            x⋅v        dv   x ⋅ dx          1
1) 2v′ +          =0⇒ 2 = −        ⇒ ln(v) = ln(1 − x 2 ) ⇒ v = 4 1 − x 2 .
           1− x 2
                       v    1− x 2
                                            4
                                  x ⋅ dx                  14
2) 2u ′ ⋅ 4 1 − x 2 = x ⇒ du =                 ⇒ u=−         (1 − x 2 ) 3 + C .
                                 2 1− x
                                  4        2              3

Получаем z = ⎛⎜ −                       ⎞
                    14                                     1
                       (1 − x 2 ) 3 + C ⎟ 4 1 − x 2 ⇒ y = − (1 − x 2 ) + C 4 1 − x 2 .
                  ⎝ 3                   ⎠                  3

                        1.8. Уравнения в полных дифференциалах
        Дифференциальное выражение P ( x, y )dx + Q ( x, y )dy является полным диф-
ференциалом, если существует такая функция u(x,y), полный дифференциал ко-
торой равен данному выражению: du = P(x, y )dx + Q( x, y )dy .
        Теорема. Для того чтобы выражение P ( x, y )dx + Q ( x, y )dy было полным
дифференциалом, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось тождество:



                                                           14

Страницы