Дифференциальные уравнения. Ребро И.В - 16 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВПИ ВолгГТУ | Волжский

Составители: 

Рубрика: 

15
x
Q
y
P
∂
∂
=
∂
∂
.
Если левая часть уравнения
(
)
(
)
0,,
=
+
dyyxQdxyxP
является полным
дифференциалом некоторой функции u(x,y), то это уравнение называется
урав-
нением в полных дифференциалах
.
Таким образом, имеем равенство
(
)
0,
=
yxdu , которое означает, что меж-
ду переменными х и у существует зависимость вида
(
)
Cyxu =,, где С – произ-
вольная постоянная. Функция
(
)
yxu , определяется по формуле
() ()
∫∫
+=
y
y
x
x
dyyxQdxyxPu
00
,,
.
Пример. Найти общий интеграл уравнения 0)4()2( =−
+
+
dyy
x
dxy
x
.
Проверим выполнение теоремы:
(
)
(
)
1
42
=
∂
∂
=
∂
∂
x
yx
y
yx
⇒
левая часть диффе-
ренциального уравнения есть полный дифференциал некоторой функции
()
yxu , . Найдем ее: =−++=
∫∫
y
y
x
x
dyyxdxyxu
00
)4()2(
0
∫∫
−+
y
x
dyydxyx
0
4)2(
0
=
()
22
0
2
0
2
22 yxyxyxyx
yx
−+=−+= . Так как
(
)
=
yxu , C, получим Cyxyx =−+
22
2 .
Замечания
1. Если условие
x
Q
y
P
∂
∂
=
∂
∂
не выполняется, то дифференциальное уравнение не
является уравнением в полных дифференциалах. Его приводят к уравнению в
полных дифференциалах путем умножения его на некоторую функцию t(x;y),
называемую
интегрирующим множителем, где
∫
=
∂
∂
−
∂
∂
dx
N
x
N
y
M
ext )(
или
∫
=
∂
∂
−
∂
∂
dy
M
y
M
x
N
eyt )(
. 
                                                         ∂P ∂Q
                                                           =   .
                                                         ∂y ∂x
           Если левая часть уравнения P( x, y )dx + Q( x, y )dy = 0 является полным
дифференциалом некоторой функции u(x,y), то это уравнение называется урав-
нением в полных дифференциалах.
           Таким образом, имеем равенство du ( x, y ) = 0 , которое означает, что меж-
ду переменными х и у существует зависимость вида u ( x, y ) = C , где С – произ-
вольная               постоянная.         Функция         u (x, y )       определяется            по        формуле
      x                      y
u=    ∫ P(x, y ) dx + ∫ Q (x, y ) dy .
      x0                    y0

Пример. Найти общий интеграл уравнения ( 2 x + y )dx + ( x − 4 y )dy = 0 .
                                                    ∂ (2 x + y ) ∂ ( x − 4 y )
Проверим выполнение теоремы:                                    =              =1   ⇒ левая часть диффе-
                                                        ∂y            ∂x

ренциального уравнения есть полный дифференциал некоторой функции
                                     x             y                  x               y

u ( x, y ) . Найдем ее: u = ∫ (2 x + y) dx + ∫ ( x0 − 4 y ) dy = ∫ (2 x + y ) dx − ∫ 4 y dy =
                                     x0            y0                 0               0


  (
= x 2 + xy   )   x
                 0   − 2 y 2 0y = x 2 + xy − 2 y 2 . Так как u ( x, y ) = C, получим x + xy − 2 y = C .
                                                                                      2                 2


Замечания
                                 ∂P ∂Q
1. Если условие                    =   не выполняется, то дифференциальное уравнение не
                                 ∂y ∂x
является уравнением в полных дифференциалах. Его приводят к уравнению в
полных дифференциалах путем умножения его на некоторую функцию t(x;y),
                                                                                                      ∂M ∂N
                                                                                                         −
                                                                                                       ∂y ∂x
                                                                                                  ∫          dx
называемую                 интегрирующим               множителем,           где     t ( x) = e          N
                                                                                                                  или
                 ∂N ∂M
                   −
                 ∂x ∂y
             ∫         dy
t ( y) = e         M
                             .




                                                          15

Страницы