Дифференциальные уравнения. Ребро И.В - 18 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВПИ ВолгГТУ | Волжский

Составители: 

Рубрика: 

17
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
+
′
=
∫
)(
)(
pfx
Cdppfpy
.
2. Уравнения Лагранжа и Клеро.
Уравнением Лагранжа называется дифференциальное уравнение, ли-
нейное относительно х и у, коэффициенты которого являются функциями от y
′
:
0)()()( =
′
+
′
+
′
yRyyQxyP
.
Для нахождения общего решение применяется подстановка p = y
′
.
.
)(
)(
)(,
)(
)(
)(),()(
yQ
yR
p
yQ
yP
pfppxfy
′
′
−=ϕ
′
′
−=ϕ+=
Дифференцируя это уравнение, c учетом того, что
pdxdy
=
, получаем:
.)()()( dppdppfxdxpfpdx
ϕ
′
+
′
+
=
Если решение этого (линейного относительно х) уравнения есть
),,( CpFx = то общее решение уравнения Лагранжа может быть записано в виде:
.
)()(),()()(
),(
⎩
⎨
⎧
+=+=
=
ppfCpFppxfy
CpFx
ϕϕ
Уравнением Клеро называется уравнение первой степени (линейное) от-
носительно функции и аргумента вида:
).( yyxy
′
+
′
=
ϕ
Уравнение Клеро является частным случаем уравнения Лагранжа.
С учетом замены
py =
′
, уравнение принимает вид:
).( pxpy
+=
⇒
′
++=
′
dx
dp
p
dx
dp
xpy )(
ϕ
⇒
′
++=
dx
dp
p
dx
dp
xpp )(
ϕ
[]
0)( =
′
+
dx
dp
px
ϕ
- это уравнение
имеет два возможных решения:
0
=
dp или .0)(
=
ϕ
′
+
px
В первом случае
cp =
, тогда )(ccxy
ϕ
+
=
.
Во втором случае решение в параметрической форме выражается системой
уравнений:
⎩
⎨
⎧
=ϕ
′
+
ϕ+=
0)(
)(
px
pxpy
. Исключая параметр р, получаем второе решение
F(x,y) = 0. Это решение не содержит произвольной постоянной и не получено 
                                                ⎪
                                                ⎨       ∫
                                                ⎧ y = pf ′( p )dp + C
                                                                      .
                                                ⎪⎩ x = f ( p )

2. Уравнения Лагранжа и Клеро.
        Уравнением Лагранжа называется дифференциальное уравнение, ли-
нейное относительно х и у, коэффициенты которого являются функциями от y′:
P ( y ′) x + Q ( y ′) y + R ( y ′) = 0 .

        Для нахождения общего решение применяется подстановка p = y′.
                                                                    P( y ′)              R( y ′)
                            y = xf ( p) + ϕ( p ),      f ( p) = −           , ϕ( p ) = −         .
                                                                    Q( y ′)              Q( y ′)

      Дифференцируя это уравнение, c учетом того, что dy = pdx , получаем:
                                    pdx = f ( p)dx + xf ′( p)dp + ϕ ′( p)dp.
        Если решение этого (линейного относительно х) уравнения есть
x = F ( p, C ), то общее решение уравнения Лагранжа может быть записано в виде:

                                           ⎧ x = F ( p, C )
                                           ⎨
                                           ⎩ y = xf ( p) + ϕ ( p) = F ( p, C ) f ( p) + ϕ ( p).

        Уравнением Клеро называется уравнение первой степени (линейное) от-
носительно функции и аргумента вида: y = xy′ + ϕ ( y′).
      Уравнение Клеро является частным случаем уравнения Лагранжа.
      С учетом замены y ′ = p , уравнение принимает вид:                                     y = xp + ϕ ( p ).
             dp          dp                       dp           dp
y′ = p + x      + ϕ ′( p) ⇒          p = p+x         + ϕ ′( p ) ⇒          [x + ϕ ′( p)] dp = 0 - это уравнение
             dx          dx                       dx           dx                       dx
имеет два возможных решения:                           dp = 0 или x + ϕ′( p ) = 0.

      В первом случае p = c , тогда y = cx + ϕ(c) .
      Во втором случае решение в параметрической форме выражается системой
                     ⎧ y = xp + ϕ( p)
уравнений:           ⎨                . Исключая параметр р, получаем второе решение
                     ⎩ x + ϕ′( p) = 0
F(x,y) = 0. Это решение не содержит произвольной постоянной и не получено




                                                              17

Страницы