Дифференциальные уравнения. Ребро И.В - 20 стр.

        Нахождение решения уравнения F ( x, y, y ′,..., y ( n ) ) = 0 , удовлетворяющего
начальным условиям x0 , y 0 , y 0′ ,..., y 0( n −1) , называется решением задачи Коши.
        Теорема Коши. (Теорема о необходимых и достаточных условиях су-
ществования решения задачи Коши). Если функция вида f ( x, y, y ′,..., y ( n−1) ) в
некоторой области непрерывна и имеет непрерывные частные производные по
y, y ′,..., y ( n −1) , то какова бы не была точка ( x0 , y 0 , y 0′ ,..., y 0( n −1) ) в этой области, суще-

ствует единственное решение y = ϕ(x) уравнения y ( n ) = f ( x, y, y ′,..., y ( n−1) ) , опреде-
ленного в некотором интервале, содержащем точку х0, удовлетворяющее на-
чальным условиям x0 , y 0 , y 0′ ,..., y 0( n −1) .
        Дифференциальные уравнения высших порядков, решение которых мо-
жет быть найдено аналитически, можно разделить на несколько основных ти-
пов.
                    2.2. Уравнения, допускающие понижение порядка
        Понижение порядка дифференциального уравнения – основной метод
решения уравнений высших порядков. Этот метод дает возможность сравни-
тельно легко находить решение, однако, он применим далеко не ко всем урав-
нениям. Рассмотрим случаи, когда возможно понижение порядка.
1) Уравнения вида y(n) = f(x).
        Если f(x) – функция непрерывная на некотором промежутке a < x < b, то
решение может быть найдено последовательным интегрированием.
                                                 y ( n −1) = ∫ f ( x)dx + C1 ;

                        y ( n −2) = ∫   (∫ f ( x)dx + C )dx + C = ∫ dx∫ f ( x)dx + C x + C ;
                                                      1           2                     1          2


                   …………………………………………………………….


                                                                 x n−1         x n−2
                          y = ∫ dx ∫ dx....∫ f ( x)dx + C1              + C2          + ... + C.
                                                               (n − 1)!      (n − 2)!

Пример. Решить уравнение y ′′′ = e 2 x с начальными условиями
x0 = 0, y0 = 1, y0′ = −1, y0′′ = 0.

                                                             19