Дифференциальные уравнения. Ребро И.В - 21 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВПИ ВолгГТУ | Волжский

Составители: 

Рубрика: 

20
Решаем с помощью понижения порядка:
;
2
1
1
2
1
2
CeCdxey
xx
+=+=
′′
∫
;
4
1
2
1
21
2
1
2
CxCedxCey
xx
++=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+=
′
∫
∫
+++=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
++=
32
2
1
2
21
2
2
1
8
1
4
1
CxCxCeCxCey
xx
.
Подставим начальные условия:
;
2
1
0;
4
1
1;
8
1
1
123
CCС +=+=−+=
8
7
;
4
5
;
2
1
321
=−=−= CCC .
Получаем частное решение (решение задачи Коши):
8
7
4
5
4
1
8
1
22
+−−= xxey
x
.
2) Уравнения, не содержащие явно искомой функции и ее производных до
порядка k – 1 включительно.
Это уравнения вида: .0),...,,,(
)()1()(
=
+ nkk
yyyxF
В уравнениях такого типа возможно понижение порядка на k единиц. Для
этого производят замену переменной:
....;;
)()()1()( knnkk
zyzyzy
−+
=
′
==
То-
гда получаем:
.0),...,,,(
)(
=
′
−kn
zzzxF
Теперь допустим, что полученное дифференциальное уравнение проин-
тегрировано, тогда совокупность его решений выражается соотношением:
).,...,,,(
21 kn
CCCxz
−
ψ
=
Делая обратную подстановку, имеем:
),...,,,(
21
)(
kn
k
CCCxy
−
ψ=
.
Интегрируя полученное соотношение последовательно k раз, получаем
окончательный ответ:
).,...,,,(
21 n
CCCxy
ϕ
=
Пример. Найти общее решение уравнения
x
y
y
′
′
=
′′′
.
Применяем подстановку:
yzyz
′
′
′
=
′
′
′
= ; .
Получаем:
∫∫
====
′
;;;;
x
dx
z
dz
x
dx
z
dz
x
z
dx
dz
x
z
z xCzCxz
11
;lnlnln =+= .
Произведя обратную замену, получаем:
;
1
xCy
=
′
′
;
2
2
2
1
1
Cx
C
xdxCy +==
′
∫
                              Решаем с помощью понижения порядка:
                                           1 2x               ⎛1           ⎞    1
                y ′′ = ∫ e 2 x dx + C1 =     e + C1 ; y ′ = ∫ ⎜ e 2 x + C1 ⎟dx = e 2 x + C1 x + C 2 ;
                                           2                  ⎝2           ⎠    4

                                    ⎛1                   ⎞ 1        1
                              y = ∫ ⎜ e 2 x + C1 x + C 2 ⎟ = e 2 x + C1 x 2 + C 2 x + C3 .
                                    ⎝4                   ⎠ 8        2

                                                        1                     1                       1
Подставим начальные условия: 1 = + С3 ; − 1 = + C 2 ; 0 = + C1 ;
                                                        8                     4                       2
                                                  1        5      7
                                            C1 = − ; C2 = − ; C3 = .
                                                  2        4      8
                                                                                                  1        1        5      7
Получаем частное решение (решение задачи Коши): y = e 2 x − x 2 − x + .
                                                                                                  8        4        4      8
2) Уравнения, не содержащие явно искомой функции и ее производных до
порядка k – 1 включительно.
       Это уравнения вида: F ( x, y ( k ) , y ( k +1) ,..., y ( n ) ) = 0.
       В уравнениях такого типа возможно понижение порядка на k единиц. Для
этого производят замену переменной:                                  y ( k ) = z;        y ( k +1) = z ′; ...   y ( n ) = z ( n−k ) . То-
гда получаем: F ( x, z, z ′,..., z ( n −k ) ) = 0.
        Теперь допустим, что полученное дифференциальное уравнение проин-
тегрировано, тогда совокупность его решений выражается соотношением:
                                                z = ψ ( x, C1 , C 2 ,..., C n − k ).

Делая обратную подстановку, имеем: y = ψ ( x, C1 , C 2 ,..., C n − k ) .
                                    (k )



         Интегрируя полученное соотношение последовательно k раз, получаем
окончательный ответ:                       y = ϕ( x, C1 , C 2 ,..., C n ).

                                                                                y ′′
Пример. Найти общее решение уравнения y ′′′ =                                        .
                                                                                x
Применяем подстановку: z = y ′′; z ′ = y ′′′ .
                      z     dz z           dz dx              dz    dx
Получаем: z ′ = ;
                      x
                              = ;
                            dx x            z
                                              = ;
                                               x          ∫    z
                                                                 = ∫ ; ln z = ln x + ln C1 ;
                                                                     x
                                                                                                           z = C1 x .

                                                                                                          C1 2
Произведя обратную замену, получаем: y ′′ = C1 x; y ′ = ∫ C1 xdx =                                          x + C2 ;
                                                                                                          2



                                                                20

Страницы