Дифференциальные уравнения. Ребро И.В - 23 стр.

         2.3. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков
       Линейным дифференциальным уравнением порядка n называется любое
уравнение первой степени относительно функции у и ее производных
y ′, y ′′,..., y ( n ) вида:   p n y ( n ) + p n−1 y ( n −1) + p n−2 y ( n− 2 ) + ... + p1 y ′ + p0 y = f ( x ) , где p0, p1,

…,pn – функции от х или постоянные величины, причем p0 ≠ 0.
Левую часть уравнения обозначим L(y): p n y ( n ) + p n−1 y ( n−1) + p n−2 y ( n−2) + ... + p1 y ′ + p0 y = L( y) .
         Если f(x) = 0, то уравнение L(y) = 0 называется линейным однородным
уравнением, если f(x) ≠ 0, то уравнение L(y) = f(x) называется линейным неод-
нородным уравнением, если все коэффициенты p0, p1, p2, … pn – постоянные
числа, то уравнение L(y) = f(x) называется линейным дифференциальным
уравнением высшего порядка с постоянными коэффициентами.
         Фундаментальной системой решений линейного однородного диффе-
   ренциального уравнения порядка n на интервале (a, b) называется всякая сис-
   тема n линейно независимых на этом интервале решений уравнения.
         Определитель порядка n составленный из функций yi и ее производных
                                                  y1          y2        ...     yn
                                                  y1′         y 2′      ...     y n′
                                      W =                                              ,
                                                  ...         ...       ...     ...
                                               y1( n −1)   y 2( n −1)   ... y n( n −1)

то этот определитель называется определителем Вронского.
     Система функций y1 , y 2 ,..., y n называется линейно зависимой, если сущест-
вует такая линейная комбинация k1 y1 + k 2 y2 + ... + k n yn = 0 , при не равных нулю од-
новременно ki. Если же только при ki = 0 выполняется k1 y1 + k 2 y2 + ... + k n yn = 0 , то
векторы называются линейно независимыми.
Теорема 1. Если функции y1 , y 2 ,..., y n линейно зависимы, то составленный для
них определитель Вронского равен нулю.




                                                             22