Дифференциальные уравнения. Ребро И.В - 24 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВПИ ВолгГТУ | Волжский

Составители: 

Рубрика: 

23
Теорема 2. Если функции
n
yyy ,...,,
21
линейно независимы, то составленный для
них определитель Вронского не равен нулю ни в одной точке рассматриваемого
интервала.
Теорема 3. Для того, чтобы система решений линейного однородного диффе-
ренциального уравнения
n
yyy ,...,,
21
была фундаментальной необходимо и дос-
таточно, чтобы составленный для них определитель Вронского был не равен
нулю.
Теорема 4. Если
n
yyy ,...,,
21
- фундаментальная система решений на интервале
(a,b), то общее решение линейного однородного дифференциального уравнения
является линейной комбинацией этих решений:
nn
yCyCyCy ++
+
=
...
2211
, где C
i
–постоянные коэффициенты.
2.4. Линейные однородные дифференциальные уравнения
с постоянными коэффициентами
Решением дифференциального уравнения вида
0...
)1(
1
)(
=+++
−
yayay
n
nn
является фундаментальная система решений
n
yyy ,...,,
21
, представляемая в виде общего решения
nn
yCyCyCy
+
++
=
...
2211
.
Решения фундаментальной системы определяется по методу Эйлера, в котором
частное решение уравнения ищется в виде
kx
ey =
, где k = const. Тогда
,...;;
)(2 kxnnkxkx
ekyekykey ==
′′
=
′
то
.0)...(
1
1
=+++
−
n
nnkx
akake
При этом многочлен
n
nn
akakkF +++=
−
...)(
1
1
называется характери-
стическим многочленом
дифференциального уравнения, а
0akak
n
1n
1
n
=+++
−
...
характеристическим уравнением.
Структура фундаментальной системы уравнения зависит от вида корней
характеристического уравнения. Различают три случая:
1.
Все корни характеристического уравнения различны:
1)
вещественны -
n
kkk ,...,,
21
, тогда
xk
n
xk
n
eCeCy ++= ...
1
1
. 
Теорема 2. Если функции y1 , y 2 ,..., y n линейно независимы, то составленный для
них определитель Вронского не равен нулю ни в одной точке рассматриваемого
интервала.
Теорема 3. Для того, чтобы система решений линейного однородного диффе-
ренциального уравнения y1 , y 2 ,..., y n была фундаментальной необходимо и дос-
таточно, чтобы составленный для них определитель Вронского был не равен
нулю.
Теорема 4. Если y1 , y 2 ,..., y n - фундаментальная система решений на интервале
(a,b), то общее решение линейного однородного дифференциального уравнения
является линейной комбинацией этих решений: y = C1 y1 + C 2 y 2 + ... + C n y n , где Ci
–постоянные коэффициенты.
              2.4. Линейные однородные дифференциальные уравнения
                                с постоянными коэффициентами
       Решением                     дифференциального                        уравнения                   вида
y ( n) + a1 y ( n −1) + ... + an y = 0   является       фундаментальная              система          решений

y1 , y 2 ,..., y n , представляемая в виде общего решения y = C1 y1 + C2 y2 + ... + Cn yn .

Решения фундаментальной системы определяется по методу Эйлера, в котором

частное решение уравнения ищется в виде y = e , где k = const. Тогда
                                             kx



y′ = kekx ;        y′′ = k 2ekx ; ... y ( n ) = k ne kx , то e kx (k n + a1k n −1 + ... + an ) = 0.

        При этом многочлен F (k ) = k n + a1k n −1 + ... + an называется характери-
стическим               многочленом               дифференциального                    уравнения,           а
k n + a 1 k n −1 + ... + a n = 0 характеристическим уравнением.
      Структура фундаментальной системы уравнения зависит от вида корней
характеристического уравнения. Различают три случая:
   1. Все корни характеристического уравнения различны:
    1) вещественны - k1 , k2 ,..., kn , тогда y = C1e k x + ... + Cn e k x .
                                                                 1              n




                                                      23

Страницы