Дифференциальные уравнения. Ребро И.В - 26 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВПИ ВолгГТУ | Волжский

Составители: 

Рубрика: 

25
2.5. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с
произвольными коэффициентами
Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение с произ-
вольными коэффициентами: .
)()(...
)1(
)(
1
)(
xfyx
n
p
n
yxp
n
y =++
−
+
Теорема. Общее решение линейного неоднородного дифференциального
уравнения )()(...)(
)1(
1
)(
xfyxpyxpy
n
nn
=+++
−
в некоторой области есть сум-
ма любого его решения и общего решения соответствующего линейного одно-
родного дифференциального уравнения
.
Для решения линейного неоднородного дифференциального уравнения
применяют метод вариации произвольных постоянных. Суть метода заключа-
ется в следующем:
находят общее решение соответствующего однородного
уравнения в виде:
∑
=
=+++=
n
i
iinn
yCyCyCyCy
1
2211
...
; затем, полагая коэффици-
енты
C
i
функциями от х, ищется решение неоднородного уравнения:
∑
=
=
n
i
ii
yxCy
1
)(
, где функции C
i
(x) находятся из системы уравнений:
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
=
∑
=
−
′
=
∑
=
′′
∑
=
=
′
)(
1
)1(
)(
..........................
0
1
)(
1
0)(
xf
n
i
n
i
yx
i
C
n
i
i
yx
i
C
n
i
i
yx
i
C
Пример. Решить уравнение ).2sin( xxyy
−
=
+
′
′
Решаем линейное однородное уравнение .0
=
+
′
′
yy
.;;01
21
2
ikikk −===+
;1;0));sin()cos(( ==+=
βαββ
α
xBxAey
x
)sin()cos( xBxAy
+
=
.
Решение неоднородного уравнения будет иметь вид:
)sin()()cos()( xxBxxAy +
=
. 
            2.5. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с
                           произвольными коэффициентами
Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение с произ-

вольными коэффициентами: y ( n) + p1 ( x) y ( n−1) + ... + p n ( x) y = f ( x).

          Теорема. Общее решение линейного неоднородного дифференциального
уравнения y ( n ) + p1 ( x) y ( n −1) + ... + p n ( x) y = f ( x) в некоторой области есть сум-
ма любого его решения и общего решения соответствующего линейного одно-
родного дифференциального уравнения.
      Для решения линейного неоднородного дифференциального уравнения
применяют метод вариации произвольных постоянных. Суть метода заключа-
ется в следующем: находят общее решение соответствующего однородного
                                                                  n
уравнения в виде: y = C1 y1 + C 2 y 2 + ... + C n y n =
                                                                ∑ C y ; затем, полагая коэффици-
                                                                 i =1
                                                                        i i



енты Ci функциями от х, ищется решение неоднородного уравнения:
      n
y=   ∑ C ( x) y , где функции C (x) находятся из системы уравнений:
     i =1
            i   i                   i



                                         ⎧∑   n
                                                   ′
                                         ⎪i =1C i ( x ) y i = 0
                                         ⎪n
                                         ⎪⎪ ∑ C ′i ( x ) y′i = 0
                                          ⎨i =1
                                          ⎪..........................
                                          ⎪
                                              n              ( n −1)
                                          ⎪∑    C ′i ( x ) y i        = f ( x)
                                          ⎪⎩i =1

Пример. Решить уравнение y ′′ + y = x − sin(2 x).
Решаем линейное однородное уравнение y ′′ + y = 0.
                                   k 2 + 1 = 0; k1 = i; k 2 = −i.

                          y = eαx ( A cos( βx) + B sin( βx)); α = 0; β = 1;

                                        y = A cos( x) + B sin( x) .

Решение неоднородного уравнения будет иметь вид: y = A( x) cos( x) + B( x) sin( x) .

                                                     25

Страницы