Дифференциальные уравнения. Ребро И.В - 27 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВПИ ВолгГТУ | Волжский

Составители: 

Рубрика: 

26
Составляем систему уравнений:
⎩
⎨
⎧
−=
′
+
′
−
=
′
+
′
)2sin()cos()()sin()(
0)sin()()cos()(
xxxxBxxA
xxBxxA
Решим эту систему:
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
−=
′
−=
′
−
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
−=
′
−
′
−
′
−=
′
))2sin()(cos()(
)2sin(
)sin(
)(
)2sin(
)sin(
)(cos
)()sin()(
)sin(
)cos(
)()(
2
xxxxB
xx
x
xA
xx
x
x
xAxxA
x
x
xAxB
Из соотношения
)sin()cos()(sin2)(
2
xxxxxA −=
′
найдем функцию А(х).
()
=−=−=−=
∫∫∫∫
dxxxxdxxxdxxxdxxxxxxA )sin()(sin
3
2
)sin()cos()(sin2)sin()cos()(sin2)(
322
.)sin()cos()(sin
3
2
)cos()cos()(sin
3
2
)cos(;
;)sin(;
1
33
Cxxxxdxxxxx
xvdxdu
dxxdvxu
+−+=−+=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
−==
==
=
∫
Теперь находим В(х).
+−=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
==
==
=−=
∫∫∫
dxxxx
xvdxdu
dxxdvxu
dxxxdxxxxB )sin()sin(
)sin(;
;)cos(;
)sin()(cos2)cos()(
2
.)cos()sin()(cos
3
2
)(cos
3
2
2
33
Cxxxxx +++=+
Подставляем полученные значения в формулу общего решения неоднородного
уравнения:
).sin()cos())(cos)((sin))(cos)()(sincos()sin(
3
2
)sin(
)cos()sin()(sin)(cos)sin(
3
2
)cos()cos()sin()(cos)cos()(sin
3
2
21
2222
2
23
1
23
xCxCxxxxxxxxC
xxxxxxxCxxxxxxy
+++++=+
+++++−+=
Окончательный ответ:
)sin()cos()2sin(
3
1
21
xCxCxxy +++=
.
2.6. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с
постоянными коэффициентами и с правой частью специального вида
Теорема.
Общее решение линейного неоднородного дифференциального
уравнения равно сумме общего решения соответствующего однородного и ча-
стного решения данного неоднородного дифференциального уравнения.
Частное решение определяется методом неопределенных коэффициентов,
который представлен в виде таблицы 2. 
                                                     ⎧ A′( x) cos( x) + B′( x) sin( x) = 0
Составляем систему уравнений: ⎨
                                                     ⎩− A′( x) sin( x) + B′( x) cos( x) = x − sin(2 x)
Решим эту систему:
                  ⎧ ′                 cos( x)
                  ⎪ B ( x) = − A′( x) sin( x)                             ⎧ − A′( x)
                                                                                     = x − sin( 2 x)
                  ⎪                                                       ⎪
                  ⎨                              2                        ⎨ sin( x)
                  ⎪− A′( x) sin( x) − A′( x) cos ( x) = x − sin( 2 x)     ⎪ B′( x) = cos( x)( x − sin( 2 x))
                  ⎪⎩                                                      ⎩
                                              sin( x)

Из соотношения A′( x) = 2 sin 2 ( x) cos( x) − x sin( x) найдем функцию А(х).

           (                               )                                             2
A( x) = ∫ 2 sin 2 ( x) cos( x) − x sin( x) dx = 2∫ sin 2 ( x) cos( x)dx − ∫ x sin( x)dx = sin 3 ( x) − ∫ x sin( x)dx =
                                                                                         3
   ⎧u = x; dv = sin( x)dx; ⎫ 2 3                                   2 3
  =⎨                       ⎬ = sin ( x) + x cos( x) − ∫ cos( x)dx = sin ( x) + x cos( x) − sin( x) + C1 .
   ⎩du = dx; v = − cos( x)⎭ 3                                      3

Теперь находим В(х).
                                                   ⎧u = x; dv = cos( x)dx;⎫
B ( x) = ∫ x cos( x)dx − 2∫ cos 2 ( x) sin( x)dx = ⎨                      ⎬ = x sin( x) − ∫ sin( x)dx +
                                                   ⎩du = dx; v = sin( x) ⎭
  2              2
+ cos 3 ( x) = cos 3 ( x) + x sin( x) + cos( x) + C 2 .
  3             3
Подставляем полученные значения в формулу общего решения неоднородного
уравнения:
     2                                                                   2
y = sin 3 ( x) cos( x) + x cos 2 ( x) − sin( x) cos( x) + C1 cos( x) + sin( x) cos 3 ( x) + x sin 2 ( x) + sin( x) cos( x) +
     3                                                                   3
               2
+ C 2 sin( x) = sin( x) cos( x)(sin 2 ( x) + cos 2 ( x)) + x(sin 2 ( x) + cos 2 ( x)) + C1 cos( x) + C 2 sin( x).
               3
                                           1
Окончательный ответ: y = sin(2 x) + x + C1 cos( x) + C 2 sin( x) .
                                           3
          2.6. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с
    постоянными коэффициентами и с правой частью специального вида
        Теорема. Общее решение линейного неоднородного дифференциального
уравнения равно сумме общего решения соответствующего однородного и ча-
стного решения данного неоднородного дифференциального уравнения.
        Частное решение определяется методом неопределенных коэффициентов,
который представлен в виде таблицы 2.



                                                             26

Страницы