Дифференциальные уравнения. Ребро И.В - 25 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВПИ ВолгГТУ | Волжский

Составители: 

Рубрика: 

24
2) имеются комплексные - biak
±
=
2,1
, тогда
(
)
...)sin()cos(
21
++= bxCbxCey
ax
xk
n
n
eC+
.
2.
Среди корней характеристического уравнения имеются кратные:
1)
1
k - вещественный корень кратности s, тогда
xk
n
s
s
xk
sn
eCxCxCCey
−
++++=
−
...)...(
1
21
1
.
2)
biak
1
±=
- комплексный корень кратности s, тогда
...)cos()...(
1
21
1
+++=
−
bxxCxCCey
s
s
xk
)sin()...(
1
221
bxxCxCC
s
sss
−
++
+++
,
где C
i
–постоянные коэффициенты.
В частности для линейных однородных дифференциальных уравнений
второго порядка
0
=
+
′
+
′′
qyypy
. Если
1
k
и
2
k
– корни характеристического
уравнения
0
2
=++ qpkk
, то общее решение записывается в одном из следую-
щих трех видов (см. табл. 1): Таблица 1
qpD 4
2
−=
Корни
1
k и
2
k
Общее решение ЛОДУ
1) 0>D
действительные и различные (
21
kk
≠
)
xkxk
eCeCy
21
21
+=
2) 0=D
действительные и равные ( kkk
=
=
21
)
kxkx
xeCeCy
21
+=
3) 0<D
комплексные biak
±
=
2,1
(а и b – действительные числа)
()
)sin()cos(
21
bxCbxCey
ax
+=
Пример. Найти общее решение уравнения 065
=
+
′
−
′
′
yyy .
Составим характеристическое уравнение
065
2
=+− kk и найдем его корни:
16425 =⋅−=D ; 2
2
15
1
==
−
k ; 3
2
15
2
==
+
k . Так как
1
k и
2
k – действительные и раз-
личные числа, то общее решение записывается в виде:
xx
eCeCy
3
2
2
1
+= .
Пример. Найти общее решение уравнения 09
=
+
′
′
yy .
Характеристическое уравнение имеет вид:
09
2
=+k
,
9
2
−=k
, ik 3
2,1
±= – ком-
плексно-сопряженные корни,
0
=
a , 3
=
b . Общее решение имеет вид
))3sin()3cos((
21
0
xCxCy
x
e +⋅= , отсюда )3sin()3cos(
21
xCxCy
+
=
. 
    2) имеются комплексные - k1,2 = a ± bi , тогда

                 y = e ax (C1 cos(bx) + C2 sin(bx) ) + ... + Cn e k n x .
   2. Среди корней характеристического уравнения имеются кратные:
    1) k 1 - вещественный корень кратности s, тогда

       y = e k1 x (C1 + C2 x... + C s x s −1 ) + ... + Cn e k n− s x .
    2) k 1 = a ± bi - комплексный корень кратности s, тогда
       y = e k1x (C1 + C2 x... + Cs x s−1 ) cos(bx) + ... + (C s +1 + C s + 2 x... + C2 s x s −1 ) sin(bx ) ,

       где Ci –постоянные коэффициенты.
       В частности для линейных однородных дифференциальных уравнений
второго порядка y ′′ + py ′ + qy = 0 . Если k 1 и k 2 – корни характеристического

уравнения k 2 + pk + q = 0 , то общее решение записывается в одном из следую-
щих трех видов (см. табл. 1):                                                                                   Таблица 1
D = p 2 − 4q                            Корни k1 и k 2                                    Общее решение ЛОДУ

  1) D > 0          действительные и различные ( k1 ≠ k 2 )                                     y = C1e k1 x + C2 e k 2 x

  2) D = 0          действительные и равные ( k1 = k 2 = k )                                    y = C1e kx + C2 xe kx
                              комплексные k1,2 = a ± bi
  3) D < 0                                                                                y = e ax (C1 cos(bx) + C2 sin(bx) )
                          (а и b – действительные числа)
Пример. Найти общее решение уравнения y′′ − 5 y′ + 6 y = 0 .
Составим характеристическое уравнение k 2 − 5k + 6 = 0 и найдем его корни:
D = 25 − 4 ⋅ 6 = 1 ; k1 = 5−1 = 2 ; k 2 = 5+1 = 3 . Так как k1 и k 2 – действительные и раз-
                             2                    2
личные числа, то общее решение записывается в виде: y = C1e 2 x + C2e3 x .
Пример. Найти общее решение уравнения y′′ + 9 y = 0 .
Характеристическое уравнение имеет вид: k 2 + 9 = 0 , k 2 = −9 , k1, 2 = ± 3i – ком-

плексно-сопряженные                  корни,         a =0,         b = 3.     Общее          решение             имеет       вид
y = e0 x ⋅ (C1 cos(3x) + C2 sin(3x)) , отсюда y = C1 cos(3 x) + C2 sin(3 x) .



                                                             24

Страницы