Дифференциальные уравнения. Ребро И.В - 22 стр.

      ⎛C           ⎞    C
y = ∫ ⎜ 1 x 2 + C2 ⎟dx = 1 x 3 + C2 x + C . Общее решение исходного дифференциального
      ⎝ 2          ⎠     6

уравнения: y = Cx 3 + C2 x + C3 . Отметим, что это соотношение является реше-
нием для всех значений переменной х кроме значения х =0.
3) Уравнения, не содержащие явно независимой переменной.
       Это уравнения вида F ( y, y ′,..., y ( n ) ) = 0. Порядок таких уравнений может быть
понижен на единицу с помощью замены переменных y ′ = p ,
                                                             ⎛ dp       ⎞
                                                          d ⎜⎜       p ⎟⎟                       2
              dy ′ dy ′ dy dp            dy ′′ dy dy ′′        dy       ⎠ p = d p p 2 + ⎛⎜ dp ⎞⎟ p и т.д.
                                                                               2
       y ′′ =     =    ⋅  =   p; y ′′′ =      ⋅ =       p= ⎝                             ⎜ dy ⎟
              dx    dy dx dy             dy dx dy              dy             dy 2       ⎝ ⎠
         Подставляя эти значения в исходное дифференциальное уравнение, полу-
            ⎛      dp    d n −1 p ⎞
чаем: F1 ⎜⎜ y, p, ,..., n −1 ⎟⎟ = 0 .
            ⎝    dy    dy        ⎠

Пример. Найти общее решение уравнения yy ′′ − ( y ′) 2 − 4 yy ′ = 0.
                                                     dp
Замена переменной: p = y ′;                 y ′′ =      p.
                                                     dy

             dp                         ⎛ dp           ⎞
Тогда yp        − p 2 − 4 yp = 0 ⇒    p⎜⎜ y − p − 4 y ⎟⎟ = 0 .
             dy                         ⎝ dy           ⎠
       dp                dp     p
1) y      − p − 4y = 0 ⇒    = 4+ .
       dy                dy     y

                                                       p
Произведем замену переменной: u = .
                                                       y

     du                   dy           dy
u+      y = 4 + u ⇒ du = 4 ⇒ ∫ du = 4 ∫ ⇒ u = 4 ln y + 4 ln C1 ⇒ u = 4 ln C1 y ⇒
     dy                    y            y

                                                        dy
p = 4 y ln C1 y . С учетом того, что p =                   , получаем:
                                                        dx

dy                        dy                 1 d (ln C1 y ) 1
   = 4 y ln C1 y ⇒ ∫             = ∫ dx ⇒ x = ∫            = ln ln C1 y + C 2 .
dx                   4 y ln C1 y             4 ln C1 y      4

       Таким образом, общий интеграл имеет вид: ln ln C1 y = 4 x + C .

2) p = 0 ⇒ y ′ = 0 ⇒ y = C .



                                                             21