Дифференциальные уравнения. Ребро И.В - 19 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВПИ ВолгГТУ | Волжский

Составители: 

Рубрика: 

18
из общего решения, следовательно, не является частным решением. Поэтому
будет являться особым интегралом.
Пример. Решите уравнение
xye
y
=
′
+
′
.
Это уравнение разрешено относительно х. Поэтому полагаем
py =
′
, тогда
pex
p
+= . Находим dpedx
p
)1( += и так как
dx
dy
y =
′
, имеем dpepdxydy
p
)1( +=
′
= .
C
p
peCdpepy
pp
++−=++=
∫
2
)1()1(
2
. Получаем:
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
++−=
+=
.
2
)1(
,
2
C
p
pey
pex
p
p
Пример . Решите уравнение
2
2 yyxy
′
−
′
= .
Это уравнение Лагранжа. Поэтому полагаем
py
=
′
, получаем:
2
2 pxpy −= .
Находим
pdpxdppdxdy 222 −+= и так как
dx
dy
y =
′
, имеем
⇒
=
−
+⇒=−+ 0)22()22(2 dppxpdxpdxdppxpdx 2
2
=+
p
x
dp
dx
.
Если
0≠p , то
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
+=
+=
.
3
2
,
3
2
2
2
p
p
C
y
p
p
C
x
Если 0
=
p , то 0
=
y – это частное решение.
§2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ
2.1 Основные понятия
Дифференциальным уравнением порядка n
называется уравнение вида:
0),...,,,(
)(
=
′
n
yyyxF ,
или, решенное относительно старшей производной y
(n)
: ).,...,,,(
)1()( −
′
=
nn
yyyxfy
Начальным условием дифференциального уравнения порядка n называ-
ют соответствующие друг другу значения независимой переменной (х
0
), функ-
ции (у
0
) и ее производные ),...,(
)1(
00
−
′
n
yy . Записывается в виде:
.)(,....,)(,)(
)1(
00
)1(
0000
−−
=
′
=
′
=
nn
yxfyxfyxf 
из общего решения, следовательно, не является частным решением. Поэтому
будет являться особым интегралом.
Пример. Решите уравнение e y′ + y ′ = x .
Это уравнение разрешено относительно х. Поэтому полагаем y ′ = p , тогда
                                                                           dy
x = e p + p . Находим dx = (e p + 1)dp и так как y ′ =                        , имеем dy = y ′dx = p(e p + 1)dp .
                                                                           dx

                                          2                 ⎧          x = e p + p,
                                        p                   ⎪
y = ∫ p(e p + 1)dp + C = e p ( p − 1) +     + C . Получаем: ⎨                     p2
                                        2                   ⎪⎩ y = e p
                                                                       ( p − 1) +    + C.
                                                                                  2

Пример . Решите уравнение y = 2 xy ′ − y ′ 2 .
Это уравнение Лагранжа. Поэтому полагаем y ′ = p , получаем: y = 2 xp − p 2 .
                                                                                                                   dy
Находим          dy = 2 pdx + 2 xdp − 2 pdp               и         так            как                      y′ =      ,   имеем
                                                                                                                   dx
                                                                       dx 2 x
2 pdx + (2 x − 2 p)dp = pdx ⇒ pdx + (2 x − 2 p)dp = 0 ⇒                  +    = 2.
                                                                       dp p

                ⎧        C 2
                ⎪⎪ x =      + p,
                         p2 3
Если p ≠ 0 , то ⎨                 Если p = 0 , то y = 0 – это частное решение.
                 ⎪y =    2C p 2
                            +   .
                 ⎪⎩       p   3



    §2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ


                                            2.1 Основные понятия
    Дифференциальным уравнением порядка n называется уравнение вида:
                                              F ( x, y, y ′,..., y ( n ) ) = 0 ,

или, решенное относительно старшей производной y(n): y ( n ) = f ( x, y, y ′,..., y ( n −1) ).
       Начальным условием дифференциального уравнения порядка n называ-
ют соответствующие друг другу значения независимой переменной (х0), функ-
ции (у0) и ее производные ( y0′ ,..., y0( n−1) ) . Записывается в виде:
                         f ( x0 ) = y 0 ,    f ′( x0 ) = y0′ , .... ,        f ( n−1) ( x0 ) = y0( n−1) .



                                                              18

Страницы