Дифференциальные уравнения. Ребро И.В - 17 стр.

2. Общий интеграл уравнения M ( x, y )dx + N ( x, y )dy = 0 в полных дифференциалах
                                                ( x; y )

записывается в виде                                ∫ Mdx + Ndy = C , где левая часть есть криволинейный инте-
                                               ( x0 ; y0 )


грал второго рода по любому пути, соединяющему фиксированную точку (х0;у0)
с точкой (х; у).
Пример. Решить уравнение (x 2 − y )dx + (x 2 y 2 + x )dy = 0 .
                                                     ∂P ∂Q
                                                       −
      ∂P       ∂Q                     ∂P ∂Q          ∂y ∂x − 1 − 2 xy 2 − 1   2
Здесь    = −1,    = 2 xy + 1, то есть
                        2
                                        ≠   . Однако       =                =− .
      ∂y       ∂x                     ∂y ∂x            Q      x y +x
                                                               2 2
                                                                              x

Таким образом, интегрирующий множитель зависит от х, имеем:
                   2
              −   ∫ x dx        − 2 ln x       1                                        1
 t ( x) = e                =e              =     2
                                                   . Умножаем исходное уравнение на t = 2 , получаем:
                                               x                                       x
⎛    y ⎞     ⎛ 2 1⎞
⎜1 − 2 ⎟dx + ⎜ y + ⎟dy = 0 - это уравнение в полных дифференциалах. Решая урав-
⎝ x ⎠        ⎝    x⎠

                                           2 y y3    1 1
нение, получим: x +                           + − y − −1 = c .
                                            x  3     x 3
                                1.9. Уравнения первого порядка не разрешенные
                                                             относительно производной
1. Уравнения вида y = f(y′) и x = f(y′)
                                                                                                                  dp
     Для уравнения первого типа получаем: y = f ( p);                                             y ′ = f ′( p)      . Соверша-
                                                                                                                  dx
                                                                dp
ем замену, получаем: p = f ′( p)                                   . Имеем дифференциальное уравнение с разде-
                                                                dx
                                                                       f ′( p)                    f ′( p )
ляющимися переменными:                                          dx =           dp . Находим x = ∫          dp + C. Общий ин-
                                                                          p                          p

                                          ⎧       f ′( p)
                                          ⎪x = ∫          dp + C
теграл представляется системой уравнений: ⎨          p           .
                                          ⎪ y = f ( p)
                                          ⎩

       Для дифференциального уравнения вида x = f(y’) с помощью той же са-
мой подстановки и аналогичных рассуждений получаем результат:




                                                                            16