Дифференциальные уравнения. Ребро И.В - 14 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВПИ ВолгГТУ | Волжский

Составители: 

Рубрика: 

13
))(()(
)(
)(
1
)(
1
xPexCe
dx
xdC
dx
dy
y
dxxPdxxP
−⋅
∫
+
∫
==
′
−−
.
Подставляем полученное равенство в исходное уравнение:
)()()()()(
)(
)(
1
)(
1
)(
1
xQexCxPexPxCe
dx
xdC
dxxPdxxPdxxP
=
∫
+
∫
−
∫
−−−
.
Упрощаем, преобразуем и получаем:
dxexQxdC
dxxP
∫
=
)(
1
)()(
.
Отсюда:
CdxexQC
dxxP
+
∫
=
∫
)(
1
)(
.
Подставляя это значение в исходное уравнение:
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
∫∫
=
∫
−
CdxexQey
dxxPdxxP )()(
)(
.
Пример. Решить уравнение
xxyy 22
=
+
′
.
Метод Бернулли
. Полагаем
uvy
=
и
uvvuy
′
⋅
+
′
⋅
=
′
.
Тогда
xxvuvuvu 22 =
+
′
+
′
xxvvuvu 2)2(
=
+
′
+
′
⇒
.
1)
02 =+
′
xvv , xdx
v
dv
2−= ,
2
ln xv −= ,
2
x
ev
−
=
.
2)
xueu
x
20
2
=+
′
−
, т.е.
2
2
x
xe
dx
du
=
, ceu
x
+=
2
.
Итак,
(
)
22
xx
eceuvy
−
+==
.
Метод Лагранжа.
Решаем уравнение 02
=
+
′
xyy .
Имеем
2
2
x
ceyxdx
y
dy
−
=⇒−= . Заменяем с на с(х):
2
)(
x
excy
−
=
.
Тогда
)2()()(
22
xexcexcy
xx
−+
′
=
′
−−
.
Подставляем
⇒=+−+
′
−−−
xexxcxexcexc
xxx
2)(2)2()()(
222
∫
+=⇒=⇒=
′
−
cexcdxxexcxexc
xxx
222
)(2)(2)(
. Получаем
(
)
22
xx
ecey
−
+=
.
Пример. Решить уравнение 1)(
=
′
+
yyx .
Учитывая, что
x
y
′
=
′
1
, то от исходного уравнения переходим к линейному
уравнению yxx +=
′
. Применим подстановку uvvuxuvx
′
+
′
=
′
⇒
=
. Получаем
yvvuvuyuvuvvu =−
′
+
′
⇒+=
′
+
′
)( . Находим
y
evdy
v
dv
vvv =⇒=⇒=−
′
0:
. 
                                           dy dC1 ( x) − ∫ P ( x ) dx
                                                                      + C1 ( x)e ∫
                                                                                − P ( x ) dx
                                 y′ =         =       e                                      ⋅ (− P( x)) .
                                           dx   dx
Подставляем полученное равенство в исходное уравнение:
                       dC1 ( x) − ∫ P ( x ) dx
                                               −C1 ( x) P ( x)e ∫           + P( x)C1 ( x)e ∫
                                                               − P ( x ) dx                − P ( x ) dx
                               e                                                                        = Q( x) .
                         dx

Упрощаем, преобразуем и получаем: dC1 ( x) = Q( x)e ∫
                                                                                           P ( x ) dx
                                                                                                        dx .

Отсюда: C1 = ∫ Q( x)e ∫
                                      P ( x ) dx
                                                   dx + C .

                                                                                             ∫
                                                                                           − P ( x ) dx   ⎛ Q( x)e ∫ P ( x ) dx dx + C ⎞
Подставляя это значение в исходное уравнение: y = e                                                       ⎜∫                           ⎟.
                                                                                                          ⎝                            ⎠
Пример. Решить уравнение y ′ + 2 xy = 2 x .
Метод Бернулли. Полагаем y = uv и y ′ = u ⋅ v′ + v ⋅ u ′ .
      Тогда u ′v + uv ′ + 2 xvu = 2 x ⇒ u ′v + u (v′ + 2 xv) = 2 x .
                                      dv                                − x2
      1) v ′ + 2 xv = 0 ,                = −2 xdx , ln v = − x 2 , v = e .
                                      v
                   2                                   du
      2) u ′e − x + u 0 = 2 x , т.е.
                                                                  2
                                                          = 2 xe x , u = e x + c .
                                                                              2


                                                       dx

                                  (
      Итак, y = uv = e x + c e − x .
                                       2
                                                   )   2




Метод Лагранжа. Решаем уравнение y ′ + 2 xy = 0 .
                       dy                                                       − x2
                          = −2 xdx ⇒ y = ce − x . Заменяем с на с(х): y = c( x)e .
                                               2
      Имеем
                        y
                                      2                    2
      Тогда y ′ = c ′( x)e − x + c( x)e − x (−2 x) .
                                                   2           2                    2
      Подставляем c′( x)e − x + c( x)e − x (−2 x) + 2 xc( x)e − x = 2 x ⇒

      c ′( x)e − x = 2 x ⇒ c( x) = ∫ 2 xe x dx ⇒ c( x) = e x + c . Получаем y = e + c e .
               2                                           2              2      x     −x
                                                                                                               (   2
                                                                                                                       )   2




Пример. Решить уравнение ( x + y ) y ′ = 1 .
                                      1
Учитывая, что y ′ =                      , то от исходного уравнения переходим к линейному
                                      x′
уравнению x′ = x + y . Применим подстановку x = uv ⇒ x ′ = u ′v + v ′u . Получаем
                                                                                                 dv
u ′v + v ′u = uv + y ⇒ u ′v + u (v ′ − v) = y . Находим v : v ′ − v = 0 ⇒                           = dy ⇒ v = e y .
                                                                                                 v


                                                                     13

Страницы