Дифференциальные уравнения. Ребро И.В - 8 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВПИ ВолгГТУ | Волжский

Составители: 

Рубрика: 

7
1.3. Уравнения с разделяющимися переменными
Дифференциальное уравнение
),( yxfy
=
′
называется уравнением с разде-
ляющимися переменными, если его можно записать в виде:
0)()(
=
+
dyyQdxxP
.
Общее решение дифференциального уравнения с разделяющимися пе-
ременными получается после нахождения соответствующих интегралов, то
есть
CdyyQdxxP =+
∫∫
)()(
.
Если уравнение с разделяющимися переменными имеет вид:
0)()()()(
2211
=+ dyyQxPdxyQxP
, то путем почленного деления его на
0)()(
21
≠
xPyQ
они сводится к уравнению
0
)(
)(
)(
)(
1
2
2
1
=+ dy
yQ
yQ
dx
xP
xP
.
Замечания.
1. При проведении почленного деления ДУ на
)()(
21
xPyQ могут быть потеряны
некоторые решения. Поэтому следует отдельно решить уравнение
0)()(
21
=
xPyQ
и установить те решения ДУ, которые не могут быть получены из общего ре-
шения, - особые решения.
2. Уравнение
)()(
21
yfxfy =
′
также сводится к уравнению с разделенными пере-
менными. Для этого достаточно положить
dx
dy
y =
′
и разделить переменные:
)()(
12
xf
dx
yf
dy
=
.
3. Уравнение
)( cbyaxfy ++=
′
, где a,b,c – числа, сводится к уравнению с раз-
деленными переменными путем замены
ucbyax
=
+
+
. Дифференцируя
uc
b
yax =++ по х получаем: dx
ubfa
du
ubfa
dx
du
dx
dy
ba
dx
du
=
+
⇒+=⇒+=
)(
)(
. Интег-
рируя это уравнение и заменяя u= c
b
yax
+
+
, получим общий интеграл исход-
ного уравнения.
Пример. Найти все решения уравнения 01
2
=−− ydydxy . 
                         1.3. Уравнения с разделяющимися переменными
         Дифференциальное уравнение y ′ = f ( x, y ) называется уравнением с разде-
ляющимися переменными, если его можно записать в виде:
                                            P( x)dx + Q( y )dy = 0 .

         Общее решение дифференциального уравнения с разделяющимися пе-
ременными получается после нахождения соответствующих интегралов, то
есть ∫ P( x)dx + ∫ Q( y )dy = C .

       Если             уравнение   с     разделяющимися                 переменными          имеет   вид:
P1 ( x)Q1 ( y )dx + P2 ( x)Q2 ( y )dy = 0 , то путем почленного деления его на Q1 ( y ) P2 ( x) ≠ 0

                                        P1 ( x)     Q ( y)
они сводится к уравнению                        dx + 2       dy = 0 .
                                        P2 ( x)     Q1 ( y )

       Замечания.
1. При проведении почленного деления ДУ на Q1 ( y ) P2 ( x) могут быть потеряны
некоторые решения. Поэтому следует отдельно решить уравнение Q1 ( y ) P2 ( x) = 0
и установить те решения ДУ, которые не могут быть получены из общего ре-
шения, - особые решения.
2. Уравнение y ′ = f1 ( x) f 2 ( y ) также сводится к уравнению с разделенными пере-
                                                                         dy
менными. Для этого достаточно положить y ′ =                                и разделить переменные:
                                                                         dx
   dy       dx
          =         .
 f 2 ( y ) f1 ( x )

3. Уравнение y′ = f (ax + by + c) , где a,b,c – числа, сводится к уравнению с раз-
деленными                переменными       путем       замены           ax + by + c = u .   Дифференцируя
                                              du      dy du                    du
ax + by + c = u по х получаем:                   = a+b ⇒    = a + bf (u ) ⇒             = dx . Интег-
                                              dx      dx dx                 a + bf (u )

рируя это уравнение и заменяя u= ax + by + c , получим общий интеграл исход-
ного уравнения.
Пример. Найти все решения уравнения                          1 − y 2 dx − ydy = 0 .




                                                         7

Страницы