Дифференциальные уравнения. Ребро И.В - 6 стр.

     Частным решением дифференциального уравнения y ′ = f ( x, y ) называется
решение, которое получается из общего решения при конкретном значении
произвольной постоянной С.
      Задачей Коши называется нахождение любого частного решения диффе-
ренциального уравнения вида у = ϕ(х, С0), удовлетворяющего начальным усло-
виям у(х0) = у0.
      Теорема Коши (теорема о существовании и единственности решения
дифференциального уравнения 1- го порядка). Если функция f ( x, y) и ее част-
ные производные f y′ ( x, y ) и f x′( x, y ) непрерывна в некоторой области, содержа-

щей точку M ( x0 ; y0 ) , то существует, и притом единственное, решение уравне-
ния y ′ = f ( x, y ) такое, что у обращается в у0 при х=х0.
                   1.2. Геометрическая интерпретация решений
                          дифференциальных уравнений
     Геометрически общее решение y = ϕ(x, C) представляет собой множест-
во интегральных кривых, то есть совокупность линий, соответствующих раз-
личным значениям постоянной С. Если задать точку M ( x0 ; y0 ) , через которую
должна проходить интегральная кривая, то из бесконечного множества инте-
гральных кривых выделяется некоторая определенная интегральная кривая, ко-
торая соответствует частному решению дифференциального уравнения.
     В каждой точке M ( x0 ; y0 ) области плоскости Оху, в которой справедлива
теорема существования и единственности решения, уравнение y ′ = f ( x, y ) опре-
деляет величину углового коэффициента касательной к интегральной кривой,
проходящей через точку M ( x0 ; y0 ) . Эту величину графически изображают лини-
ей, проходящей через точку M ( x0 ; y0 ) и имеющей             угловой коэффициент
y ′ = f ( x, y ) . Таким образом, уравнение y ′ = f ( x, y ) устанавливает поле направле-

ний на плоскости Оху.




                                            5