Составители:
Рубрика:
Приложение 5
ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ
∑
∞
=
++++=
1
21
......
n
nn
aaaa
Знакопостоянные
Знакопеременные
∑
∞
=1n
n
a ,
n
a -любые
Знакоотрицательные
∑
∞
=1
n
n
a , 0≤
n
a
Знакоположительные
∑
∞
=1n
n
a ,
0≥
n
a
Необходимое
условие сходимости
0lim =
∞→
n
n
a
Ряд расходится
нет
да
nn
aaaS
+
+
+
= ...
21
Если
n
n
S
∞→
∃
lim
, то ряд
называется
сходящимся
SS
n
n
=
∞→
lim
-сумма ряда
nn
SSR
−
=
-остаток
Знакочередующиеся
∑
∞
=
−
1
)1(
n
n
n
a , 0≥
n
a
Признак Лейбница:
ряд сходится, если
1)
1+
>
nn
aa ;
2)
0lim =
∞→
n
n
a
Ряд геометрической прогрессии
∑
∞
=1
n
n
aq =
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
−≥
−−<
.1
1
расхрядq
сясхрядq
Ряд
Дирихле
∑
∞
=1
1
n
p
n
=
⎩
⎨
⎧
−≤
−
−
>
.1
1
расхрядp
сясхрядp
Если ряд
∑
∞
=1n
n
a сх-ся, то ряд
∑
∞
=1n
n
a сх-ся абсолютно.
Если ряд
∑
∞
1
n
a расх., то ряд сх-ся
∑
∞
1
n
a условно.
Приложение 5
ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ Знакопеременные
Знакопостоянные ∞ ∞
∑ a n = a1 + a 2 + ... + a n + ... ∑ an , a n -любые
n =1 n =1
Знакоотрицательные S n = a1 + a 2 + ... + a n
∞ Если ∃ lim S n , то ряд
∑ an , an ≤ 0 n →∞
Знакочередующиеся
n =1 называется сходящимся ∞
lim S n = S -сумма ряда
n →∞ ∑ (−1) n a n , an ≥ 0
Знакоположительные n =1
∞ Rn = S − S n -остаток
∑ an , an ≥ 0
Ряд геометрической прогрессии
n =1
∞
n ⎪
⎧ q < 1 − ряд сх − ся
∑ aq = ⎨
⎪⎩ q ≥ 1 − ряд расх.
Признак Лейбница:
n =1 ряд сходится, если
Необходимое Ряд Дирихле 1) a n > a n +1 ;
условие сходимости ∞
1 ⎧ p > 1 − ряд сх − ся 2) lim a n = 0
lim a n = 0 ∑ =⎨ n →∞
⎩ p ≤ 1 − ряд расх.
n →∞ p
n =1 n
нет ∞ ∞
Ряд расходится Если ряд ∑ a n сх-ся, то ряд ∑ a n сх-ся абсолютно.
n =1 n =1
да ∞ ∞
Если ряд ∑ an расх., то ряд сх-ся ∑ an условно.
1 1
