Составители:
Рубрика:
40
Приложение 6
Ряд Тейлора
() ( )
()
()
(
)
()
()
()
()
n
n
n
xx
n
xf
xx
xf
xx
xf
xfxf
0
0
0
2
0
0
0
0
0
!
...
!2!1
−⋅=+−⋅
′′
+−⋅
′
+=
∑
∞
=
Разложение некоторых элементарных функций в ряд Маклорена
...
!3!2!1
1
32
++++=
ttt
e
t
(
)
+
∞
∞
−
∈ ,t
()
...
!7!5!3
sin
753
+−+−=
ttt
tt
(
)
+
∞
∞
−
∈ ,t
()
...
!6!4!2
1cos
642
+−+−=
ttt
t
(
)
+
∞
∞
−
∈ ,t
()
...
!7!5!3
753
++++=
ttt
ttsh
(
)
+
∞
∞
−
∈ ,t
()
...
!6!4!2
1
642
++++=
ttt
tch
(
)
+
∞
∞
−
∈ ,t
()
=+ t1ln
...
432
432
+−+−
ttt
t
]
(
1,1
−
∈t
()
...
753
753
+−+−=
ttt
ttarctg
[
]
1,1
−
∈t
()
(
)
(
)
(
)
...
!3
21
!2
1
!1
11
32
+⋅
−
−
+⋅
−
+⋅+=+ t
mmm
t
mm
t
m
t
m
(
)
1,1
−
∈t
=++++=
−
...1
1
1
32
ttt
t
(
)
1,1
−
∈t
Приложение 6
Ряд Тейлора
f ′( x0 ) f ′′( x0 ) ∞ f (n ) ( x )
f ( x) = f ( x0 ) + ⋅ (x −x0 ) + ⋅ (x − x0 ) + . . .= ∑
2 0
⋅ ( x − x0 )n
1! 2! n =0 n!
Разложение некоторых элементарных функций в ряд Маклорена
t t2 t3
t
e = 1 + + + + ... t ∈ (− ∞,+∞ )
1! 2 ! 3!
t3 t5 t7
sin (t ) = t − + − + ... t ∈ (− ∞,+∞ )
3! 5 ! 7 !
t2 t4 t6
cos(t ) = 1 − + − + ... t ∈ (− ∞,+∞ )
2! 4! 6!
t3 t5 t7
sh(t ) = t + + + + ... t ∈ (− ∞,+∞ )
3! 5 ! 7 !
t2 t4 t6
ch(t ) = 1 + + + + ... t ∈ (− ∞,+∞ )
2! 4! 6!
t2 t3 t4
ln (1 + t ) = t − + − + ... t ∈ (− 1,1]
2 3 4
t3 t5 t7
arctg (t ) = t − + − + ... t ∈ [− 1, 1]
3 5 7
(1 + t )m = 1 + m ⋅ t + m(m − 1) ⋅ t 2 + m(m − 1)(m − 2) ⋅ t 3 + ... t ∈ (− 1, 1)
1! 2! 3!
1
= 1 + t + t 2 + t 3 + ... = t ∈ (− 1, 1)
1− t
40
