Методы оптимизации. Рейзлин В.И. - 7 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

1.2.1. Метод оценивания с использованием квадратичной
аппроксимации
Простейшим вариантом полиномиальной интерполяции является
квадратичная аппроксимация, которая основана на том факте, что функция,
принимающая минимальное значение во внутренней точке интервала, должна
быть, по крайней мере, квадратичной. Если же функция линейная, то ее
оптимальное значение может достигаться только в одной из двух граничных
точек интервала. Таким образом, при реализации метода оценивания с
использованием квадратичной аппроксимации предполагается, что в
ограниченном интервале можно аппроксимировать функцию квадратичным
полиномом, а затем использовать построенную аппроксимирующую схему для
оценивания координаты точки истинного минимума функции.
Если задана последовательность точек х
1
, х
2
, х
3
и известны
соответствующие этим точкам значения функции f
1
, f
2
, f
3
, то можно определить
постоянные величины а
0
, а
1
и а
2
таким образом, что значения квадратичной
функции
)xx)(xx(a)xx(aa)x(q
212110
совпадут со значениями f (х) в трех указанных точках. Перейдем к вычислению
q(x) в каждой из трех заданных точек. Прежде всего, так как
0111
a)x(q)x(ff
,
имеем а
0
= f
1
.
Далее, поскольку
)xx(af)x(q)x(ff
1211222
,
получаем
)xx/()ff(a
12121
. (1.2)
Наконец, при х=х
3
).)(())(/()()()(
231321312121333
xxxxaxxxxfffxqxff
Разрешая последнее уравнение относительно а
2
, получаем
.
1
12
12
13
13
23
2
xx
ff
xx
ff
xx
a
(1.3)
Таким образом, по трем заданным точкам и соответствующим значениям
функции можно оценить параметры а
0
, а
1
и а
2
аппроксимирующего
квадратичного полинома с помощью приведенных выше формул.

Страницы